2024年广东省九年级中考数学课件专用梳理复习(六)几何证明与计算专练

(六)几何证明与计算专练 1 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°. (1)求证：CE＝CM； 证明：∵∠ACB ＝ 90°， 点M为边AB的中点， ∴MC＝MA＝MB， ∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B. 2 ∵∠A＝ 50°， ∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°. ∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°. ∵∠ACE＝30°， ∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°. ∴∠MEC＝∠EMC. ∴CE ＝CM. 3 (2)若AB＝4，求线段FC的长. 解：∵AB＝4， ∵EF⊥AC，∠ACE＝ 30°， ∴FC＝CE·cos 30°＝ ∴CE＝CM＝ AB＝2. 4 2. 如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC＝CD. (1)若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数； 解：∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠ABD＝20°. ∵BC＝CD， ∴∠D＝∠CBD＝20°. ∴∠BCD＝180°－∠D－∠CBD＝180°－ 20°－20°＝140°. 5 (2)若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE的长. 解：∵BC＝CD＝4， ∴∠D＝∠CBD， ∴∠D＝∠ABE＝∠CBD. ∴AB∥CD且∠CED＝∠AEB. ∴△CED∽△AEB， ∴ 6 设AE＝x，则CE＝2x， ∵AC＝3， 即x＋2x＝3， ∴x＝1， ∴CE＝2. 7 3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4 cm，延长AB至点E，使BE＝8 cm，F是DE的中点，求线段BF的长度. 解：过点F作FM⊥AE，垂足为点M，如图所示. ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA⊥AE, AD＝AB＝4. ∴FM∥AD. ∵点F是DE的中点， ∴点M是AE的中点. 8 ∵AE＝AB＋BE＝4＋8＝12， ∴AM＝ME＝6. ∴BM＝AM－AB＝6－4＝2. ∴BF＝ ∴线段BF的长度为 ∴MF＝ 9 4.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF. (1)【问题解决】如图1，若点D在边BC上， 求证：CE＋CF＝CD； 证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECH＝60°. ∴△CEH是等边三角形， 10 ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°. ∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°. ∴∠DEH＝∠FEC. 在△DEH和△FEC中， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°. 11 ∴DH＝CF. ∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF. ∴CE＋CF＝CD. ∴△DEH≌△FEC(SAS). 12 (2)【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究：线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由. 过D作DG∥AB，交AC的延长线于 点G，如图2所示. 解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是CF＝CD＋CE. 理由如下：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∵GD∥AB， 13 ∴∠GDC＝∠DGC＝60°. ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°. ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°. ∴∠EDG＝∠FDC， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°. 14 ∴△EGD≌△FCD(SAS). ∴EG＝FC. ∴FC＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE. 在△EGD和△FCD中， 15 5. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F. (1)若AB＝a，直接写出CD的长(用含a的代数式表示)； 解：如图1， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a， ∴CD＝ 16 (2)若DF⊥BC，垂足为点G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图2，判断四边形ADFC的形状，并说明理由； 解：四边形ADFC是菱形， ∵DF⊥BC于点G， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°. ∴DF∥AC. 由折叠得，DF＝DB， 理由如下：如图2， 17 ∵DB＝ AB， ∴DF＝ AB. ∴AC＝ AB. ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－60°＝30°. ∴DF＝AC. ∴四边形ADFC是平行四边形. ∵AD＝ AB， ∴AD＝DF. ∴四边形ADFC是菱形. 18 (3)若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数. ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°