2024年广东中考数学专用梳理复习课件 压轴专练四　圆与三角函数、相似相结合

压轴专练四　圆与三角函数、相似相结合 1 1. 如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO延长线于点F，且∠OAB＝∠F. (1)求证：AC是⊙O的切线； 证明：∵DF∥AC， ∴∠F＝∠OAC. ∵∠OAB＝∠F， ∴∠OAB＝∠OAC. ∴AO是∠BAC的平分线. 2 ∵⊙O与AD相切于点B， ∴OB是⊙O的半径，OB⊥AD. ∵∠ACD＝90°， ∴OC⊥AC. ∴OB＝OC. ∴点C在⊙O上. ∵OC⊥AC， ∴AC是⊙O的切线. 3 (2)若OC＝3，DE＝2，求tan F的值. 解：由(1)知：OB＝OC＝3, OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的直径. ∴CE＝2OC＝6. ∴CD＝CE＋DE＝6＋2＝8， OD＝OE＋DE＝OC＋DE＝3＋2＝5. 在Rt△OBD中，由勾股定理得： BD＝ 4 ∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠ODB＝∠ADC， ∴△ODB∽△ADC. ∵∠F＝∠OAC， ∴ ∴AC＝ ∴tan F＝tan ∠OAC＝ 5 2. (2023兰州)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，　　　 ，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD. (1)求证：BF是⊙O的切线； 证明：如图，连接CO， ∴∠BOD＝∠BOC＝2∠BAC. ∵∠BOD＝2∠F， ∴∠F＝∠BAC. ∵ 6 ∵DE⊥AC， ∴∠AEG＝90°. ∵∠AGE＝∠FGB， ∴∠FBG＝∠AEG＝90°， 即AB⊥BF. 又∵AB是⊙O的直径， ∴BF是⊙O的切线； 7 (2)判断△DGB的形状，并说明理由； 解：△DGB是等腰三角形. 理由如下： ∴∠ABD＝∠ABC. ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∴EF∥BC. ∴∠ABC＝∠FGB， ∴∠FGB＝∠ABD. ∴△DGB是等腰三角形； ∵　　　　AB是⊙O的直径， ∴　　　　BC⊥AC. 8 (3)当BD＝2时，求FG的长. 设∠FGB＝∠ABD＝α， 则∠DBF＝∠F＝90°－α， ∴DB＝DF. ∴FG＝2DG＝2DB＝4. 解：∵∠FGB＝∠ABD，AB⊥BF， 9 3. (2023张家界)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD. (1)求证：CF是⊙O的切线； 证明：如图，连接OC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°. ∴∠ADC＋∠CAD＝90°. 10 ∴∠ADC＝∠OCD. 又∵∠DCF＝∠CAD， ∴∠DCF＋∠OCD＝90°， 即OC⊥FC. ∴CF是⊙O的切线； 又∵OC＝OD， 11 (2)若直径AD＝10，cos B＝　，求FD的长. 解：∵∠B＝∠ADC，cos B＝ ∵在Rt△ACD中， ∴cos ∠ADC＝ cos ∠ADC＝　　　　AD＝10， ∴CD＝AD·cos ∠ADC＝10× 12 ∴AC＝ ∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F， ∴△FCD∽△FAC. ∴ ∴ 设FD＝3x， 则FC＝4x，AF＝3x＋10， 13 又∵FC2＝FD·FA， 即(4x)2＝3x(3x＋10)， 解得x＝ ∴FD＝3x＝ 14 4. (2023随州)如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，C是　　的中点，AE垂直于过点C的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F. (1)求证：DC是⊙O的切线； 证明：如图，连接OC， ∵C是 ∴ ∴∠CAE＝∠CAB. 15 ∴∠CAB＝∠ACO. ∴∠CAE＝∠ACO. ∴AD∥OC. ∵AD⊥DC， ∴OC⊥DC. ∵OC是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线； ∵OA＝OC， 16 (2)若AE＝2，sin ∠AFD＝　.①求⊙O的半径； ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°. ∴BE⊥AD. ∵AD⊥DF， ∴BE∥DF. 解：①如图，连接BE， 17 ∵AE＝2， ∴AB＝6. ∴⊙O的半径为3； ∴∠AFD＝∠ABE. ∵sin ∠AFD＝ ∴sin ∠ABE＝ 18 ②求线段DE的长. ∵OC＝3，OF＝OB＋BF＝3＋BF， ∴BF＝6. ∴AF＝AB＋BF＝6＋6＝12. ∴sin ∠AFD＝ ∴ 解：②由(1)可知，OC⊥DF， 19 ∴AD＝4. ∵AE＝2， ∴DE＝AD－AE＝4－2＝2. ∵AD⊥DF， ∴sin ∠AFD＝ 20 5.(2023永州)如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D.使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于点N，CE交AB于点G. (1)求证：ED是⊙O的切线； 证明：∵AB