2024年 广东省中考数学专用梳理复习压轴专练三　三角形与四边形课件

压轴专练三　三角形与四边形 1 1. (2023深圳) (1)如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE交BE于点F，①若BE＝BC，求证：△ABE≌△FCB； ①证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°. ∴∠ABE＋∠CBF＝90°. 又∵CF⊥BE. ∴∠FCB＋∠CBF＝90°，∠CFB＝∠A＝90°. ∴∠FCB＝∠ABE. 又∵BC＝BE， ∴△ABE≌△FCB(AAS)； 2 又∵S矩形ABCD＝AB·BC＝20， ∴BE·CF＝AB·BC＝20， 故答案为20. ②解：由①可得∠FCB＝∠ABE，∠CFB＝∠A＝90°. ∴△ABE∽△FCB. ②若S矩形ABCD＝20时，则BE·CF＝_______； ∴ 20 3 (2)如图2，在菱形ABCD中，cos A＝ ，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF·BC的值； ∴AD∥BC，AB＝BC， ∴∠CBE＝∠A. ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°. 解：在菱形ABCD中，cos A＝ 4 ∵EF⊥AD，CE⊥AB， ∴∠AFE＝∠BEC＝90°. ∵cos ∠CBE＝ ∴BE＝BC·cos ∠CBE＝BC·cos A＝ ∴AE＝AB＋BE＝AB＋ 5 又∵∠CBE＝∠A， ∴△AFE∽△BEC. ∴ ∴EF·BC＝AE·CE＝ 6 (3)如图3，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E在CD上，且CE＝2，F为BC上一点， 连接EF，过点E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF·EG＝7　 时，请直接写出AG的长. 如图3，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H， 解：①当点G在AD边上时， ∵平行四边形ABCD中，AB＝6，CE＝2， 7 ∵DM∥FC， ∴△EDM∽△ECF. ∴CD＝AB＝6，DE＝DC－EC＝4. ∴ ∴ 在Rt△DEH中，∠HDE＝∠A＝60°， ∴S△MGE＝2S△EFG＝EF·EG＝7 8 ∴MG＝7. ∵GE⊥EF，EH⊥MG， ∴∠MEH＝90°－∠HEG＝∠HGE. ∴tan ∠MEH＝tan ∠HGE. ∴ ∴ ∴EH＝ 9 设AG＝a， 则GD＝AD－AG＝5－a， GH＝GD＋HD＝5－a＋2＝7－a， HM＝GM－GH＝7－(7－a)＝a, 解得a＝3或a＝4，即AG＝3或AG＝4； ∴HE2＝HM·HG. ∴ 10 ②当点G在AB边上时， 则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形， 设AG＝x， 则DN＝AG＝x，EN＝DE－DN＝4－x， ∵GN∥CM， ∴△ENG∽△ECM. 如图4，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD， 11 ∴ ∴CM＝ ∵EF·EG＝7 ∴S△MEF＝ 12 在Rt△EHC中，EC＝2，∠ECH＝60°， ∴EH＝ 如图4，过点E作EH⊥BC于点H， ∴S△MEF＝ ∴ ∴MF＝ 13 ∴FH＝MF－CM－CH＝ ∵∠MEF＝∠EHM＝90°， ∴∠FEH＝90°－∠MEH＝∠M. ∴tan ∠FEH＝tan M， MH＝CM＋CH＝ 即 14 即 ∴EH2＝FH·HM， 解得x＝ 即AG＝ 15 如图5，过点B作BT⊥DC于点T， ③当点G在BC边上时， 在Rt△BTC中，CT＝ ∴S△BTC＝ ∵EF·EG＝7 ∴S△EFG＝ 16 ∴点G不可能在BC边上. ∵ 综上所述，AG的长为3或4或 17 2.　　　　　　　　　　　(2023扬州)【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB ＝∠A′D′C＝ 90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2. 18 【操作探究】如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD，A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°≤ α≤360°)，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC. 19 解：∵△ADB和△A′D′C中， (1)当α＝60°时，BC＝________；当BC＝　　时，α＝________________； ∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠ABD＝∠A′CD′＝30°， ∴∠BAD＝∠CA′D′＝90°－30°＝60°. ∴当α＝60°时，A′C与AD重合， ∵AB＝AC＝2，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形. 如图3，连接BC， 20 ∠BAC＝90°. ∴AB⊥AC， ∴BC＝AB＝2； 当BC＝2 ∵AB2＋AC2＝22＋22＝8＝ ∴当BC＝2 　时，△ABC为直角三角形， 21 ∵∠DA