5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件（第1课时）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.1 正弦函数、余弦函数的性质 正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2]的图象中， 五个关键点是哪几个? 余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2]的图象中， 五个关键点是哪几个? 复习回顾 1.我们已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？ 2.在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质. 探究新知 1.定义域 正弦函数 定义域： 余弦函数 定义域： 探究新知 R R 2. 值域 探究新知 y＝sinx 正弦曲线分布在两条平行线=1和=-1之间 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度 |sin|≤1,即-1≤sin≤1 正弦函数的值域是[-1,1]. 2. 值域 探究新知 y＝cosx 余弦曲线分布在两条平行线=1和=-1之间 余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度 |cos|≤1,即-1≤cos≤1 余弦函数的值域是[-1,1]. 探究新知 (1)今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？ (2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 在数学当中，有没有周期现象？ 探究新知 3. 周期性 (1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； (3) 这个规律由诱导公式可以说明. (2) 规律：每隔 重复出现一次 （或者说每隔,重复出现）； 可以用哪个诱导公式说明这个规律？ 定义 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个，都有且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 探究新知 3. 周期性 注： 1、T是非零常数; 2、必须是“每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数; 3、 周期函数的周期T往往是多值的（如y=sin x ，2,4,…,-2,-4,…都是周期）; 定义 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个，都有且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期. 由此可知，都是正弦函数和余弦函数的周期,最小正周期是. 探究新知 3. 周期性 （1）已知函数 的周期是3，且当 时， 求 思考： 吗？ 探究新知 思考 1.若函数y=f(x)的周期为T，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数f(x)的周期吗？ 是，周期为2kπ(k∈Z且k≠0) 2.刚刚我们通过观察正弦函数的图像，已经知道了正弦函数y=sin x(x∈R）是周期为2kπ(k∈Z且k≠0)的周期函数，那么余弦函数是不是周期函数呢？如果是，周期是多少？ 思考 4.若函数 有 ，能说明 是周期吗？ 不能，只有任意 ，有 ， 才是周期， 是特 殊情况. 反例： 3.对于所有周期函数都有最小正周期吗？ 求下列函数的周期 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π (2)设函数y=sin2x, x∈R的周期为T，则 sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x ∵正弦函数的最小正周期为2π ， ∴ y=sin2x ,x∈R的周期为π 例题 例：求下列函数的周期 解:设函数 的周期为T，则 ∵正弦函数的最小正周期为2π ， ∴ ∴函数 的周期为4π 例题 求下列三角函数的周期： y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + ) 解： (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz 即：f (2+z)=f (z) , f [(x+2)+ ]=f (x+ ) ∴函数的周期T=2 . （2）解：令z= , 则 f (x)=3sinz=3sin(z+2) ∴函数的周期T=4 . =f (x+4) =3sin( ) =3sin( +2) 巩固练习 一般结论: 探究新知 4.奇偶性 观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？ 是奇函数 是偶函数 前提：定义域