专题11圆锥曲线单元复习与测试（21个考点25种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题11圆锥曲线单元复习与测试 一．圆的标准方程 1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 2.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 3.图例： 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 二．求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 三．点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 四．圆的一般方程 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 五．待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 六．直线与圆的位置关系及判断 位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法：（1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： 1 d>r⇔圆与直线相离； 2 d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； ③⇔直线与圆相离. 七．弦长 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 . （2）代数法:如图,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在). 八．直线与圆相切的相关知识点 1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点 (2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等. (4)过切点过圆心的直线与切线垂直. 2.求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条. 九．利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 十．圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 十一．两圆的公共弦 （1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解