第02讲 成对数据的统计分析讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第02讲　成对数据的统计分析 【必备知识】 1、变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：正相关和负相关． (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，称这两个变量线性相关． 2、样本相关系数 (1)样本相关系数 (2)当，成对样本数据正相关；当时，成对样本数据负相关． (3)当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 3、一元线性回归模型 (1)经验回归方程为，其中． (2)残差分析 ①观测值：通过观测得到的数据． ②预测值：通过经验回归方程得到的． ③残差：观测值减去预测值的差． ④残差分析：通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等．这方面的工作称为残差分析． X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 4．独立性检验 (1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽 样数据列联表，如表所示． 则． (2)独立性检验 当时，推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当时，没有充分证据推断不成立，可以认为和独立． 利用χ2的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，简称独立性检验． 考点04　相关关系的判断 【常见方法】判断相关关系的方法： (1)回归方程法：利用回归方程中的系数的正负判断． (2)散点图法：如果所有的样本点都落在某一曲线附近，那么变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关关系． (3)相关系数法：利用相关系数判断，|r|越趋近于1，相关性越强．　　 【典例分析04】 1、为了对变量x与y的线性相关进行检验，由样本点(x1，y1)、(x2，y2)、…、(x10，y10)求得两个变量的样本相关系数为r，那么下面说法中正确的是(　　) A．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝1 B．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－2 C．若越大，则变量x与y的线性相关性越强 D．若越小，则变量x与y的线性相关性越强 2、下列命题中正确的为(　　) A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B．线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱 C．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好 D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 3、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x 考点05　线性回归方程 角度01　线性回归方程及其应用 【常见方法】求线性回归方程的基本步骤 (1)先把数据制成表，从表中计算出x、y，x＋x＋…＋x、x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值； (2)计算回归系数； (3)写出线性回归方程． 注意：回归方程一定过点(x，y)．　　 【典例分析05】 1、某食品厂2020年2月至6月的某款饮料生产产量(单位：万件)的数据如下表： 月份x 2 3 4 5 6 生产产量y/万件 3 5 6．5 8 10．5 (1)根据以上数据，求y关于x的线性回归方程； (2)调查显示该年7月份的实际市场需求量为13．5万件，求该年7月份所得回归方程预测的生产产量与实际市场需求量的误差． 参考公式：，． 角度02　相关系数及其应用 【常见方法】1．模型拟合效果的判断 (1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好； (2)决定系数R2越大，模型的拟合效果越好； (3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断．当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关程度越强． 2．确定残差系数 ．其中是残差平方和，其值越小，则越大(接近1)，模型的拟合效果越好． 2、某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物