专题26 等比数列前n项和的性质及等比数列中与的关系（期末选择题26）2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题26 等比数列前项和的性质及等比数列中与的关系（期末选择题26） （原卷版） 题型1 等比数列前项和的性质 总原则： 等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论 当时，；当时， Ⅰ：等比数列的前项和公式 等比数列的前项和公式 推导过程：（1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比数列的前n项和， ①当时，，； ②当时，由得： 所以或． 即 Ⅱ：等比数列前项和的函数特征 与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 形如1：等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（    ） A．4 B．16 C．32 D．64 破解：当公比 时可得，代入，与矛盾，所以. 由等比数列的前项和公式 ，可得， 两式相除，得 ，可解得或（舍）， 当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式. 故选：D 形如2：已知正项等比数列中，为前n项和，，则（    ） A．7 B．9 C．15 D．30 破解：由，得， 即，由等比数列， 得，即. 由题知，所以. 所以. 故选：C. 形如3：已知公比不为1的等比数列满足，则（    ） A．40 B．81 C．121 D．156 破解：设公比为， 由可得，， 因为，所以，因为，解得， 所以，所以. 故选：C. 形如4：记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 破解：方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 1．已知正项等比数列的前n项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 3．已知正项等比数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．29 B．31 C．33 D．36 6．已知为正项等比数列的前n项和，若，则的公比（    ） A．3 B．2 C． D． 7．已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．记为等比数列的前项和．若，则（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 9．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知正项数列的前项和为，且满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 11．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．18 B．54 C．128 D．192 12．设为等比数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 13．已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（    ） A． B． C．或 D．－3或 14．正项等比数列的前n项和为，且满足，则的最大值为（    ） A．256 B．512 C．1024 D．2048 15．设等比数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 16．在等比数列中，，且前n项和，则此数列的项数n等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．记等比数列的前项和为，若，则的公比为（    ） A． B． C． D． 专题26 等比数列前项和的性质及等比数列中与的关系（期末选择题26） （原卷版） 题型1 等比数列中与的关系 总原则： 等比数列中与的关系 数列的前项和和通项的关系：则 工具1： 与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 工具2：递推关系 技巧总结 当高考数列大题出现《与 》或《与》关系时，应遵循以下步骤： 第一步：利用 第二步：与消去 或与消去 第三步：转化为递推关系并寻找新数列 第四步：求新数列的通项 第五步反解 →简称《作差求通项》 例 1 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式 解： 第一步：利用 第二步：与消去 或与 消去 ∴ 第三步：转化为递推关系并求数列的通项 ，又，. 例2、 已知数列的前n项和为，满足． 求证：是