福建省长乐第一中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题

福建省福州市长乐一中2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题 一、单选题:(本大题共8小题,每小题5分,共40 分.在每小题四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的) 1.如图,在三棱柱中,M为的中点,设,,,则( ) A. B. C. D. 2.已知空间向量,,,下列命题中正确的( ) A.若向量,共线,则向量,所在的直线平行 B.若向量,所在的直线为异面直线,则向量,一定不共面 C.若存在不全为0的实数使得,则,,共面 D.对于空间的任意一个向量,总存在实数使得 3.在空间直角坐标系中,,点关于y轴的对称点为C,则=( ) A. B. C.3 D. 4.如图,已知正方体的棱长为1,点M为棱的中点,点P在正方形的边界及其内部运动.给出以下四个结论: ①存在点P满足; ②存在点P满足; ③满足的点P的轨迹长度为; ④满足的点P的轨迹长度为. 其中正确的结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.,,若,则实数a的值为( ) A. B. C. D. 6.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美. 平面直角坐标系中, 曲线C: 就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论: ①曲线C围成的图形的面积是 ②曲线C围成的图形有2条对称轴; ③曲线C上的任意两点间的距离不超过2; ④若P(m,n)是曲线C上任意一点,则 的最小值是 其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知椭圆的方程为分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上在第一象限的一点,为的内心,直线与轴交于点,若,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 8.已知抛物线:的焦点为,点在上,,则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中 ,有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分,正确选项不全得2分,有错误选项得0分) 9.已知正方体的棱长为2,E为线段的中点,,其中,,点Q在底面ABCD内(包括边界),且点Q到点A的距离与到平面的距离相等,则下列选项中正确的是( ) A.当时,的最小值为 B.当时,与不垂直 C.当时,存在点P,使得EP与平面所成的角为 D.当时,PQ的最小值为 10.以下四个命题为真命题的是( ) A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B.直线的倾斜角的范围是 C.直线与直线之间的距离是 D.直线过定点 11.已知圆:,点为直线:上一动点,点在圆上,以下四个命题表述正确的是( ) A.直线与圆相离 B.圆上有2个点到直线的距离等于1 C.过点向圆引一条切线,其中为切点,则的最小值为 D.过点向圆引两条切线、,、为切点,则直线经过点 12.已知双曲线:的右焦点为,以坐标原点为圆心,线段为半径作圆与双曲线在第一、二、三、四象限依次交于A,B,C,D四点,若,则( ) A. B. C.四边形的面积为 D.双曲线的离心率为 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。 13.在正四棱锥中,若,平面与棱交于点,若,则 . 14.直线与直线垂直,则直线在轴上的截距是 . 15.已知,为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A,B两点,,则 . 16.如图,已知抛物线,圆,,为抛物线上的两点,,则直线被圆所截的弦长最小值为 . 四、解答题:本大题共6小题,共70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.如图,平行六面体的底面是菱形,且 (1)用空间的一个基底表示,并求的长; (2)求异面直线与所成角的余弦值. 18.如图,已知正方体的棱长为2,点M为正方形的内切圆上的动点. (1)在线段上是否存在点N,使得恒成立,若存在,求出点N的位置,若不存在,说明理由; (2)当点M落在线段靠近点上时,求二面角的余弦值. 19.已知圆经过三点. (1)求圆的方程; (2)已知斜率为的直线经过第三象限,且与圆交于点,求的面积的取值范围. 20.在平面直角坐标系中,已知两点,动点满足,设点的轨迹为.如图,动直线与曲线交于不同的两点(均在轴上方),且. (1)求曲线的方程; (2)当为曲线与轴正半轴的交点时,求直线的方程; (3)是否存在一个定点,使得直线始终经过此定点?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由. 21.已知椭圆:和圆:,点是圆上的动点,过点作椭圆的切线,切点为A,B. (1)若点的坐标为,证明:直线; (2)求O到直线的距离的范围. 22.已知双曲线的一条浙近线方程为,且点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程; (2)设双曲线左右顶点分别为,在直线上取一点,直线交双曲线右支于点,直线交双曲线左支于点,直线和直线的交