专题09 双曲线（四大核心考点六种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题09 双曲线 思维导图 核心考点聚焦 考点一 双曲线的定义 考点二 双曲线的标准方程 考点三 求双曲线方程的方法 考点四 双曲线的相关性质 考点一 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 对于双曲线的定义，有以下理解: 在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形: (1)若点满足(>0)，则点在双曲线的左支上． (2)若点满足(>0)，则点在双曲线的右支上． 补充讲解：(1)若，即，则根据平面几何知识，当时，动点的轨迹是以为端点方向向右的一条射线，当时，动点的轨迹是以为端点方向向左的一条射线； (2)若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故此时动点的轨迹不存在； (3)特别地，当2=0时，，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线． 考点二 双曲线的标准方程 1． 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 2. 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 3.，，三者的关系为．且 其中a与b的大小关系:可以为 在双曲线的标准方程中，长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示． 补充讲解：(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上． (3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式． (4)双曲线的标准方程的特征是(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法． 椭圆与双曲线的比较如下表： 椭圆 双曲线 定义 与的关系 的关系 标准方程 或 或 图象 焦点在轴上 焦点在轴上 考点三 求双曲线方程的方法 方法 内容 已知条件或适合题型 定义法 通过对条件的分析，根据定 义确定轨迹是双曲线，求出 并写出方程． 已知的值或动点满足 待定系数法 由已知条件确定双曲线的类型，设方程，代入已知数据，求待定系数 已知双曲线上某点的坐标 或焦点坐标或焦距 相关点法 ①确定动点满足的等量关系，列出方程；②建立动点坐标与中间变量之间的关系，消去后得到方程 ①已知动点满足某种规律； ②已知动点与已知曲线上 的动点之间的关系 考点四 双曲线的相关性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 补充讲解：1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 4．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在