专题08 椭圆（三大核心考点七种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题08讲 椭圆 思维导图 核心考点聚焦 考点一．椭圆的定义 考点二．椭圆的标准方程 考点三．椭圆的离心率 考点一．椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 考点二．椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 考点三．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 1． 椭圆的定义（共2小题） 1．（2022春•黄浦区期中）如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（　　） A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线 2.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为____ 2． 椭圆的标准方程（共2 小题） 1.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴相等 B. 短轴相等 C. 焦距相等 D. 长轴、短轴、焦距均不相等 2.（2023春·上海市三女中高二第二学期期中） 椭圆的焦点坐标为________. 3． 椭圆几何性质的简单应用（共3小题） 1.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）若椭圆的一个焦点为，则______． 2.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____. 3.（2023春·上海市大同中学高二第二学期期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________. 四．求椭圆的离心率（或范围）（共2小题） 1.（2023春·上海市嘉定一中高二第二学期期中）已知椭圆左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 2.（2023春·上海市浦东新区高二第二学期期中） 如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为_________.（用R、r表示） 5. 直线与椭圆（共4小题） 1.（2023春·上海市财大附中高二第二学期期中）已知、分别是椭圆的左、右焦点，是短轴的顶点，直线经过点且与交于、两点，若垂直平分线段，则的周长是_____