5.2.2 同角三角函数的基本关系导学案2023-2024学年高一年级第一学期高中数学人教A版必修一

5.2.2　同角三角函数的基本关系 姓名：_______________ 【学习目标0】 　　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 　　2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 【概念学习 1】同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方 关系 sin2α+cos2α=　　　  同一个角α的正弦、余弦的　　　　等于　　　　  商数 关系 =　　　  同一个角α的正弦与余弦的商等于角α的　　　  不等 关系 若角α是第一象限角，则sinα+cosα _____1 若角α是锐角，则sinα<α<tanα 【概念延伸2】同角三角函数基本关系式的常用变形 1.sin2α+cos2α=1的变形公式:sin2α=　　　　;cos2α=　　　　.  2. sin2α==; cos2α==. 3. (sin α±cos α)2=　　　　　　　　　=　　　　　　.  【概念巩固3】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin23α+cos23α=1. (　 ) (2)对任意角α,=tan都成立. (　 ) (3)若sin α=,则cos α=. (　 ) (4)已知sin αcos α=(0<α<π),则sin α+cos α=. (　 ) 【举例讲解4】 例1 (1)已知α∈,tan α=2,求cos α,sin α的值. (2)已知sin α=-,求cos α,tan α的值. (3)已知tan α=-,求sin α,cos α的值. 例2 已知sin θ+cos θ=(0<θ<π),求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 变式 已知α∈,且sin α·cos α=,求cos α-sin α,sin α+cos α的值. 例3 已知tan α=3,求下列各式的值. (1); (2); (3)sin2α-2sin αcos α. (4)sin4α+sin2 αcos2 α + cos2 α. 变式 已知=3. (1)求tan(2π+α)的值; (2)求sin αcos α的值. 例4 化简下列各式. (1)·; (2)-; (3). (4) (其中为第二象限角). 例5 求证:=. (2) )tan2α-sin2 α=tan2αsin2 α 变式 已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1. 例6已知sin α,cos α是关于x的方程x2+ax-a=0(a∈R)的两个实根,则a的值是(　 ) A.-1± B.1±C.-1 D.1- 【学习总结4】 (1)sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值时,要注意判断它们的符号. (3)已知tan α=m,可以求或的值,将分子分母同时除以cos α或cos2α,得到关于tan α的式子,从而达到求值的目的. (4)对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值. (5)常用方法:①从左向右证;②从右向左证;③左、右归一;④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等; ⑤比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“=1”. (6)常用技巧:“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想. (7)求三角函数值的方法 ❶已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解: ❷已知tan θ求 sin θ(或cos θ)常用以下方法求解: 注:当角θ