13.3 等腰三角形 讲义 2023--2024学年人教版八年级数学上册

13.3等腰三角形 知识梳理 1.等腰三角形 （1）等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角． （2）等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． ②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、�底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）． （3）等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 2.等边三角形 （1）定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形． （2）等边三角形的性质和判定： ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 3.直角三角形的一个定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 基础训练 一、单选题 1．已知等腰的底边，且，则它的周长为（ ） A．12 B．16 C．32 D．16或32 2．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ） A．8 B．10 C．9 D．8或10 3．如图，锐角三角形ABC中，D点在BC上，，今欲在AD上找一点P，使得，以下是甲、乙两人的作法： 甲：作AC的中垂线交AD于P点，则P即为所求． 乙：以C为圆心，CD长为半径画弧，交AD于异于D点的一点P，则P即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（　　） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 5．如图，△ABC中，DC=2BD=2，连接AD，∠ADC=60°．E为AD上一点，若△BDE和△BEC都是等腰三角形，且AD=，则∠ACB=（ ） A．60° B．70° C．55° D．75° 6．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）． A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 7．如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ） A．8 B．6 C．5 D．3 8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④BE+CF＝EF．上述结论始终正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝10，则CE的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 10．如图，在中，，，平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．如图，已知在中，，点，在上，且，请你在图中找出一组全等三角形______．（不添加任何字母和辅助线） 12．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，点D，E分别是边BC，AC上的点，且BD＝2CD，DEAB，则DE的长是___． 13．如图：已知是等腰三角形，，，点是上的中点，点是射线上的一动点，点是射线上的一动点，且，连接、，则的最小值______． 14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE．若∠A＝40°，则∠CBE的度数为__． 15．如图，在中，是边上的中线，，则___________ 三、解答题 16．如图，在中，，．求的度数． 17．已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 18．已如：如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N． （1）以下结论正确的有 ； ①AD=BE ②∠EFD=60° ③MC=NC ④∠AMB=∠END （2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示． ①问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由； ②连接FC，如图3所示，求