12.3角的平分线的性质讲义2023-2024学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质 知识梳理 1.角平分线的定义 将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。 2.作角平分线（尺规作图，四弧一线） 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求．    3.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP. 4.角平分线性质定理的逆定理： 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上. 5.角平分线的综合应用 （1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路； （2）实际生活中的应用． 6.证明命题基本方法 （1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） （2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 基础训练 一、单选题 1．在RtABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ） A．3 B． C．2 D．6 2．如图，，平分交于点，若，则点到的距离为（ ） A．不确定 B． C． D． 3．如图所示，点D在的角平线上，于点E，于点F，连结，于点D，则下列结论中①；②；③；④，其中正确的序号是（　　） A．② B．①② C．①②③ D．①②③④ 4．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（ ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 5．如图所示，点在的内部，，，垂足分别为，，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，RtABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=n，AB=m，则ABD的面积是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分，与交于点，于点，若，的面积为，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点，现分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若则的面积是（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 9．下列命题中，是真命题的是（　　） A．面积相等的两个三角形全等 B．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．三角形三条角平分线不一定交于一点 10．如图，△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D和E，再分别以点D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，MN⊥AC于N，MN=2，则△ABM的面积为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 二、填空题 11．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为12，10，6，其三条角平分线的交点为O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝_________． 12．如图，若ΔABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有____________________个． 13．如图，在中，，的平分线交于点，若，则的面积是___________ 14．如图，在△ABC中，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，∠A＝40°，则∠P ＝________°． 15．如图，点P在∠AOB的角平分线上，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，点M是OP的中点，DM＝2，若C是OB上的动点，则PC的最小值是 ___． 三、解答题 16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高． （1）尺规作图：作∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； （2）在已作图形中，若与AD交于点E，且BE=AC，BD=AD，求证：∠ABE=∠DAC． 17．如图，AE是△ABC的外角平分线，∠B=∠C，AB与BC平行吗?请你说明理由． 18．如图1，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD．且∠EAC+∠ACE＝90° （1）判断直线l1与l2的位置关系，并说明理由； （2）如图2，P为线段AC上一定点，Q为直线l2上一动点，当点Q在直线l2上运动时（不与点C合），猜想∠CPQ、∠CQP与∠BAC之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3角的平分线的性质 知识梳理 1.角平分线的定义 将一个已知的角平