专题24 等比数列的通项公式及其应用等比中项及应用（期末选择题24）-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题24 等比数列的通项公式及其应用等比中项及应用 （期末选择题24） （原卷版） 题型1 等比数列的通项公式及其应用 总原则： 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． Ⅰ：等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 注意：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了． Ⅱ：等比数列的通项公式 ①等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义可得： ∴； ； ； …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出： （2）叠乘法： 根据等比数列的定义可得： ， ， ， …… ， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即 又a1也符合上式 ∴． （3）迭代法： ∴． 注意：①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． ②等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴ ∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 形如1：已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D． 破解：设数列公比为， 因数列各项均为正数，故， 则， 得 解得或（负值舍去）． 故选：C． 形如2：已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 破解：设公比为， 因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 形如3：已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（    ） A． B． C． D． 破解：由，可得，解得， 又由，所以，所以. 故选：B. 形如4：设是等比数列，且，，则（    ） A．8 B．-8 C．4 D．-4 破解：设等比数列的公比为，则 ，解得：，， 所以. 故选：B 形如5：在等比数列中，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．9或70 D．9或 破解：由题意，， 在等比数列中，，， 设公比为， ，即，解得或， ∴， 当时，， 当时，. 故选：D. 1．在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．112 2．一个各项都为正数的等比数列，任一项都等于它后面的两项之和，则其公比为（   ） A． B． C． D． 3．等比数列满足，，则（    ） A．56 B． C． D．112 4．在等比数列中，，，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 5．已知等比数列中，，，则（    ） A．16 B．4 C．2 D．1 6．在数列中，，则（    ） A．12 B．16 C．32 D．64 7．已知数列满足，，则数列是（　　） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 8．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．或 C． D． 9．已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 11．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（    ） A．2 B． C．4 D． 12．已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 13．已知等差数列，公差为，且、、成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 14．已知是等比数列，且，则 （ ） A．16 B．32 C．24 D．64 15．已知数列为各项都是正数的等比数列，，则（    ） A．3 B． C． D． 16．若数列对任意正整数n都有，则（    ） A．17 B．18 C．34 D．84 17．在等比数列中，若，，则数列的公比为（    ） A． B． C． D． 18．已知等比数列满足，，则（     ） A．12 B．16 C．32 D．64 题型2 等比中项及其应用 总原则： （