2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图1，二次函数经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，直线BP与抛物线的对称轴相交于点D，与y轴相交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)设点A关于直线PB的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，求直线的解析式； (3)如图2，连接，，是否在x轴上存在一点Q，使以B，Q，P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，直线经过B，C两点，与对称轴交于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点M是直线上方抛物线上的动点，连接，，得到，求出面积的最大值及此时点M的坐标； (3)直线交线段于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与相似，求k的值． 3．已知：二次函数的图像与轴交于，与轴交于点， (1)求该二次函数的关系式； (2)求点的坐标，并判断的形状，说明理由； (3)点是该抛物线轴上方的一点，过点作轴于点，是否存在，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交点 (1)求抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想； (3)在坐标轴上是否存在点，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点P是线段（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接，当和相似时，求此时点P的坐标； (3)若点P是直线（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴垂线交抛物线于M点，连接，将沿对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t． (1)求抛物线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值． 7．如图，抛物线的图像过点A(3，0)，对称轴为直线，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为B． 若点P(0，m)，在轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，连接BE． (1)求抛物线的解析式 (2)当m=1.5时，且满足以P、O、E三点构成三角形与BCP相似，求PBE的面积． (3)当以点B、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时，写出点P的坐标 ，点Q坐标 ． 8．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点，且与直线y＝﹣kx＋6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，解决下列问题： ①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20； ②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数：y＝x2﹣2x﹣6的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)求点A、点C的坐标及对称轴方程； (2)若直线y＝﹣x＋m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值； (3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 11．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1