2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与三角形

2023年中考数学高频压轴题训练——二次函数与三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t． (1)求抛物线的解析式； (2)求点D的坐标； (3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值． 2．如图，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，6），且顶点坐标为（4，﹣2）．直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点E、P． (1)求该抛物线的解析式及A、B两点坐标； (2)当0＜m＜6时，求△BCP面积的最大值； (3)当△BPE是等腰三角形时，直接写出m的值． 3．如图抛物线(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，若点A坐标为(﹣2,0)，点C坐标为(0,4)． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请用尺规在图1中作出这样的点P，并直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 4．如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PAB的周长最小，并求出最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点与轴交于两点，，直线与抛物线的另一个交点的纵坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）点为线段上一点，点是延长线上一点，，点是第一象限内一点，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，设的面积为，，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，点为直线上方抛物线上一点，直线交直线于点，当时，求点的坐标． 6．已知，如图，抛物线与轴分别交于点，两点（点在点的左边），与轴交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求、、三点坐标； （2）求直线的解析式； （3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线（）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线（）的函数关系式及点C的坐标； （2）如图1，连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，求出当△OEF的面积取得最小值时，点E的坐标． 8．抛物线过点，点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围． 9．如图，二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE． （1）求a与m的关系式； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的正半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 10．如图①，已知抛物线y＝＋bx＋c与x轴交于点A、，与y轴交于点，直线经过B、C两点． 抛物线的顶点为D． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）判断△BCD的形状并说明理由． （3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三