2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—等腰三角形存在性问题

· 等腰三角形存在性问题 · 基础知识 （1）等腰三角形的主要性质： ①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形的两个底角相等； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一，简称等腰三角形三线合一. （2）等腰三角形的三边分为腰和底边两类，三个内角分为底角和顶角两类. （3）已知是等腰三角形，如果没有规定哪条边是腰，那么分三种情况讨论：①AB=AC，此时∠B=∠C；②BA=BC，此时∠A=∠C；③CA=CB，此时∠A=∠B.若规定了以某一条边为腰，只分两种情况讨论.例如，若是以AB为腰的等腰三角形，那么只需要分AB=AC和AB=BC两种情况. · 解题策略 · 策略1：两腰相等列等式. 所谓两腰相等列等式，是指利用两腰相等的关系，直接求得线段的长度或者列出方程.这种策略适用于等腰三角形中至少有两条边能够求得或者可以用含未知数的代数式表示的情况，特别是在平面直角坐标系中，由于线段的长度可以用两点间的距离公式求出或者表示，这种方法比较适合. · 策略2：两角相等转化角. 所谓两角相等转化角，是指利用等腰三角形的两个底角相等的特点，结合题目中其他的等角关系，传递出新的等角，从而得出新的特殊图形的方法.这种策略大多用于等腰三角形的某条边不容易表示出来的情况，通过等角转化，往往会出现特殊的情况，使问题得以马上解决. · 策略3：三线合一找相似. 所谓三线合一找相似，是指利用等腰三角形三线合一的性质，作底边上的高，从而也是底边上的中线的良好性质，通过相似等方法建立关系、解决问题.此种解题策略需要作辅助线. · 策略4：与其相似转图形. 我们知道，相似三角形的形状相同，如果两个三角形相似，其中一个三角形是等腰三角形，那么另一个三角形也一定是等腰三角形.因此，当目标等腰三角形的边和角已知关系不足以解决问题时，可以尝试考虑与目标三角形相似的三角形是等腰三角形，这就是与其相似转图形.再按照以上三种策略分析解答. 以上四种解题策略在实际运用时不是一成不变的，要具体问题具体分析.一般情况下，首先要分析是否需要转移图形，确定好后绝大部分题目的思考顺序是先考虑边相等，再考虑角相等，最后再考虑添加辅助线利用策略3. · 【学以致用】 1.如图，在矩形ABCD中，，，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设. （1）求关于的函数关系式； （2）当点Q在线段AE上时，是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 2.已知：如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与轴相交于点A． （1）直线CD的函数表达式为________；(直接写出结果) （2）在轴上求一点O使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． （3）若点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作轴，交抛物线于点D，交BC于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）过点D作，垂足为点F．设M点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ （3）试探究是否存在这样的点E，使得以A，C，E为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4.综合与探究 如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为，点C坐标为 （1）过点A作轴，求OD的长及点A的坐标； （2）连接OA，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请直接写出满足条件的点P的坐标； （3）已知，试探究在轴上是否存在点Q，使是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 5.如图（1），中，，，，的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点P到达点O时，P，Q同时停止运动． （1）求OC，BC的长； （2）设的面积为S，求S与的函数关系式； （3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的值． 6.如图，在矩形ABCD中，，，点P自点C开始，沿着射线CB运动