2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—12345与倍半角模型

· “12345”模型 图形 结论 · 倍半角模型 图形 结论 如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形. 如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形. · 【学以致用】 1.在中，，，，点P在AC上，，若的圆心在线段BP上，且与AB、AC都相切，试求的半径. 2.如图，菱形ABCD的边长，面积为320，，与边AB、AD都相切，，求的半径. 3.如图，以的边AB为直径的交边BC于点E，过点E作的切线交AC于点D，且.若线段AB、DE的延长线交于点F，，，求的半径及BF的长. 4.如图，PA、PB切于A、B两点，CD切于点E，交PA、PB于C、D，若的半径为r，的周长等于3r，求的值. 5.如图，在中，，，，点D是BC的中点，将沿AD翻折得到，连接CE，求线段CE的长. 6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AB上，且，连接DE、DF、EF，试探究EF、AF、CE之间的数量关系. 7.如图，在中，，，点D在CB的延长线上，连接AD，，. （1）求证：； （2）点F为CD的中点，AF的延长线交BE于点G，求的度数. 8.如图，在平行四边形ABCD中，于点E，，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，. （1）若，，求BE的长； （2）求证：. 9. 如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作交CD边于点F，M是AD边上一点，且. （1）求证：点F是CD边上的中点； （2）求证：. 10. 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分交BC于点E，且，垂足为点M，，，求MF的长. 11. 如图，在中，，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若.求证：. · “12345”模型与倍半角模型 【参考答案】 1.过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，延长CA至点F，使得AF＝AB＝10，连接OA、BF，如图所示： 由题意可得OD＝OE，AO平分∠EAO，， ∴， 设的半径为，由BC＝PC＝6， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，解得，即的半径为1. 2.如图，作DG⊥AB于点G，延长CA至点E，使得AE＝AD＝20. 由题意可得DG＝16，AG＝12， EG＝AG＋AE＝32， ， 在中，有，则. 3.先由特殊角30º求出， 如图，连接OE、AE，则AE⊥BC，由AB＝AC得， 在中，由得，解得； 在中，由得，解得， ∴AB＝AC＝AD＋CD＝4，∴该圆的半径为2； 在中，，即，则， ∴. 4.如图，连接OA、OB，延长PA、BO交于点F. 由题意可得， 则， 设，则，由题意可得， 由可得，解得， ∴. 5.如图，连接BE交AD于点O，作AH⊥BC于点H. 在中，∵AC＝4，AB＝3， ∴BC＝5， ∵CD＝DB，∴， ∵，∴， ∵AE＝AB，DE＝DB＝DC， ∴AD垂直平分线段BE，是直角三角形， ∵，∴， ∴， 在中，. 6.如图，将绕着点D顺时针旋转90º得到. ∵∠EDC＋∠ADF＋∠FDE＝90º，∠FDE＝45º，∴∠EDC＋∠ADF＝45º， 又∵旋转，∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC， ∴∠GDA＋∠ADF＝∠GDF＝∠FDE＝45º， 在与中，DF＝DF，∠GDF＝∠EDF，DG＝DE， ∴， ∴EF＝GF＝GA＋AF， ∵旋转，∴GA＝CE，∴EF＝AF＋CE. 7.（1）证明：∵EA⊥AD，∴∠DAE＝∠90º， ∴∠DAB＋∠BAE＝90º， ∵∠BAC＝90º，∴∠CAE＋∠BAE＝90º， ∴∠DAB＝∠CAE， ∵∠ACE＝∠ABD，AB＝AC， ∴，∴AD＝AE； （2）如图，延长AG至点H，使得FH＝FA. ∵点F为CD的中点，∴DF＝CF， ∵∠DFH＝∠CFA， ∴，∴DH＝AC，∠H＝∠CAF， ∴，∴∠ADH＋∠DAC＝180º， ∵∠BAE＋∠DAC＝∠BAE＋∠DAE＋∠EAC＝90º＋90º＝180º， ∴∠ADH＝∠BAE， ∵AB＝AC，∴DH＝AB， ∵AD＝AE，∴， ∴∠DAH＝∠AEB， ∵∠DAH＋∠GAE＝90º，∴∠AEB＋∠GAE＝90º， ∴. 8.（1）∵CE＝CD，点F是CE的中点，CF＝2， ∴DC＝CE＝2CF＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4， ∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90º， 在中，由勾股定理可得； （2）如图，过点G作GM⊥AE于点M. ∵AE⊥BC，GM⊥AE， ∴， 在与中，， ∴，∴CG＝CF，CE＝CD， ∵CE＝2CF，∴CD＝2CG，即点G是