2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—费马点

· 费马点 · 基本概念 如图，设P为锐角△ABC内一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点． · 基本性质 （1）费马点对三边的张角相等。 （2）费马点到三顶点的距离和最小。 （3）若三角形有一个内角大于等于120°，则费马点即为此内角的顶点。 · 【学以致用】 1、已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点。已经证明：在三个内角均小于120°的中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝ . 2、如图，点P为锐角的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 . 3、已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长． 4、若点P 为所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 则点P叫做的费马点． （1）若P为锐角的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4， 则PB的值为 ； （2）如图，在锐角的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过的费马点P，且BB′＝PA＋PB＋PC． 5、如图，向外作等边三角形，.连接BE，DC相交于点P，连接AP. （1）证明：点P就是费马点； （2）证明：； 6、如图，在△MNG中，，，，点O是内一点，则点O到三个顶点的距离和最小值是 . 7、如图，P是锐角所在平面上一点，如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做费马点。 （1）当是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ； （2）若点P是的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为 ； （3）如图2，在锐角外侧作等边，连接.求证：过的费马点P. 8、如图1，P为所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做的费马点： （1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P (填是或不是)该三角形的费马点； （2）如果点P为锐角的费马点，且∠ABC＝60°，求证：； （3）已知锐角，分别以AB、AC为边向外作正和正，CE和BD相交于P点，如图2， ①求∠CPD的度数； ②求证：P点为的费马点. 9、如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，延长AC到点D， 使CD＝，过点D作交BC的延长线于点E. （1）求D点的坐标； （2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短． 10、如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形，将BM绕点B逆时针旋转60°得到，连接EN. （1）求证：； （2）若AM＋BM＋CM的值最小，则称点M为的费马点。若点M为的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数. 11、已知锐角，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出的费马点，并探究与的和，与的和是否相等. · 费马点 【参考答案】 1.解：如图，在等腰中，， 过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，则EM＝DM＝1， ∴，解得， 则， ∴， ∴. 2.解：如图所示， ∵，∠ABC＝60°， ∴∠1＋∠3＝60°，∠1＋∠2＝60°，∠2＋∠4＝60°， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠3， ∴， ∴，即，∴ ∴. 3.解：如图，连接AC，把绕着点C顺时针旋转60º得到，连接EF、BG、AG， 易证、都是等边三角形，则EF＝CE， 又∵FG＝AE， ∴AE＋BE＋CE＝BE＋EF＋FG， 如下图所示： ∵点B、G为定点， ∴线段BG即为点E到A、B、C三点距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上， 设正方形的边长为，则，， ∴， ∵点E到A、B、C三点的距离之和的最小值是， ∴，解得. 4.解：（1）∵，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60º， ∴∠PAB＝∠PBC， 又∵∠APB＝∠BPC＝120º， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）设点P为锐角的费马点，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 如图，把绕点C顺时针旋转60