2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—射影定理

· 射影定理 等积式： · 【学以致用】 1.如图，在中，，，BE平分交CD于F，于H，则下列结论：①；②；③；④若F为BE中点，则，其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，OP交AB于点D，交于点C，在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出直径的两条线段是（ ） A.AB，CD B.PA，PC C.PA，AB D.PA，PB 3.如图，AB是半圆O的直径，点D是AB上任意一点（不与点A，B重合），作与半圆交于点C，设，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4.如图，在中，AB是直径，点D是上一点，点C是弧AD的中点，弦于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①；②；③点P是的外心；④；⑤，其中正确的结论是（ ） A.①③⑤ B.②④⑤ C.①②⑤ D.①③④ 5.如图，中，，，，，则AD等于（ ） A.4.4 B.5.5 C.6.4 D.7.4 6.如图所示，在中，，D为BC边的中点，于E，则等于（ ） A. B. C. D. 7.如图，平面直角坐标系，，将直角绕O点顺时针旋转，使点B落在轴上的点处，点A落在处，若B点的坐标为，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 8.如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若，则AP等于（ ） A. B. C. D. 9.如图，点P是的直径BA延长线上一点，PC与相切于点C，，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有（ ）个． A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，MN为的直径，PM为的切线，，点A在上，交MN于B．若B为ON的中点，则AB的长为（ ） A. B. C. D. 11.如图，在中，，于点D，，，则（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 12.如图四边形ABCD中，．，过点D作，垂足为F．DF与AB相交于E．设，，P是射线DF上的动点．当的周长最小时，DP的长为（ ） A.12 B.12.5 C.13 D.13.5 13.如图，在中，CD是边AB上的高，若，，则AD的长为（ ） A. B.2 C. D.3 14.如图，已知AB是的直径，弦，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 15.如图，在中，，CD是斜边AB上的高．下列结论①；②；③；④，不正确的是________． 16.如图，中，，CE平分，点D在CE的延长线上，连接BD，过B作交CD于点F，连接AF，若，，，则AF的长为________． 17.如图，四边形ABCD是的内接四边形，且，过点D作的切线与BC的延长线交于点E. （1）求证：； （2）若，，，求AD的长． 18.【问题情境】如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作，垂足为F，连接OF， （1）试利用射影定理证明； （2）若，则________． 19.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作的切线交OE的延长线于点F，已知，． （1）求的半径； （2）求CF的长． 20.如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，交AC于点E，过点D作于点F，交AB的延长线于点G． （1）若，，求的面积； （2）若，，求BG的长． · 射影定理 【参考答案】 1.解：①∵，， ∴， ∴，即，故①正确； ②∵， ∴故②正确； ③作，则， ∵BE平分，， ∴， ∴，故③正确； ④若F为BE中点，则， ∴，， ∴， ∴，故④正确． 2.解：A、构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定理即可计算； B、根据切割线定理即可计算； C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径； D、根据切线长定理，得．相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长． 故选D. 3.解：连接AC，BC， ∵AB为直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵（当C点为半圆AB的中点时取等号）， ∴； 4.解：∵在中，点C是的中点， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵AB是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵C为的中点，