2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—三角形中的线

· 三角形中的线 · 一、中线 三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。 · 性质1：三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分. 如图，在中，点D是BC的中点，. · 性质2：三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角 形重心，三角形重心将中线分为长度比为的两条线 段. 如图，在中，中线AD，CF，BE交于点O，点 O为重心，. · 性质3：三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分. 如图，在中，点D，E，F是BC，AC，AB的中 点，. · 性质4：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 如图，在中，点D为AC的中点， . · 二、角平分线 三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 · 性质1：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例. 如图，在中，AD是的角平分线，与BC交 于点D，. · 性质2：三角形的一条内角的平分线与不相邻的两 个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心. 如图，OB平分，OA平分，OC平分 ，OA，OB，OC交于点O，点O为 的旁心（旁切圆的圆心）. · 性质3：三角形的三条角平分线交于一点，该点叫 做三角形的内心，常记作点I。 如图，在中，AD平分，BE平分 ，CF平分，AD、BE、CF交于点I，点I为 的内心. 【常用推论】 1、三角形两内角的角平分线的夹角等于与第三个内 角一半的和. 如图，在中，BE平分，CF平分， BE与CF交于点I，. 2、三角形一内角的角平分线与另一外角的角平分线的夹 角等于第三个内角的一半. 如图，在中，BP平分，CP平分， BP与CP交于点P，. 3、三角形两外角的角平分线的夹角等于与第三个内 角一半的差. 如图，在中，BO平分，CO平分， BO与CO交于点O，. 4、三角形一内角的角平分线与这个内角的对边上的高 的夹角等于另外两个内角差的一半. 如图，在中，AE平分，， . · 【学以致用】 1.已知：AD为的中线，E为线段AD上一点． （1）如图1，若，的周长为10，求的周长； （2）若的面积为20，，请在图2中作的BD边上的高，并求出点E到直线BC的距离； （3）如图3，若，，射线BE平分，点P是射线BE上一点，且直线DP与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数． 2.小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系． 如图1，中，CD为AB边的中线，可得，过点C作于M，则. 在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务： （1）如图2，矩形ABCD中，点M，N分别为CD，AB上的动点，且，AM与DN交于点E，连接CE． ①判断与的面积关系； ②若，当点M为CD的中点时，求四边形BCEN的面积； （2）中，，，点D为AB的中点，连接CD，将沿CD折叠，点A的对应点为点E，若与重合部分的面积为面积的，直接写出的面积． 3.我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的长度有关问题，这种方法称为面积法． 【问题探究】在中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图①，当点D是BC边上的中点时，； （2）如图②，当AD是的平分线时，若，，（用含，的代数式表示）； 【解决问题】如图③，在中，，AD平分，，，求BD的长度． 4.如图1，在矩形ABCD中，交AC于点G，E为AB的中点，EG的延长线交AD于点F，连接CF． （1）若，求的大小． （2）如图2，若，M为CD的中点，连接BF，FM． ①求证：； ②试求的值． 5.我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于的值，可记为． （1）在图1中，若，，，AO是BC边上的中线，则________，________； （2）如图2，在中，，，求、的值； （3）如图3，在中，，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且．已知，，求的面积． 6.定义：我们把一个内角等于另一个内角的倍的三角形叫做“三倍角三角形”． 【特例感知】 （1）若一个等腰三角形是“三倍角三角形”，则这个等腰三角形的顶角的度数为________. 【性质探究】 （2）如图1，是“三倍角三角形”，且，D为AB的中点，交BC于点E． ①若，求证：. ②若，猜想：________BC．(用含的代数式表示） 【拓展应用】 （3）如图2，在中，对角线AC，BD相交于点O，，且，若，求AB的长． 7.如图1，中，，CD为的中线，P是DC延长线上的一点，点E在AC的延长线上，且，PB交AE于F. （1）求证：； （2）如图2，若时，连接BE，试探究线段AP与线段BE的数量关系，并说明理由； （3）在