2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—圆幂定理

· 圆幂定理 圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一。 · 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即 · 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有 · 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即 · 【学以致用】 1.如图，中，，，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的与边AB交于点D，过点D作于点E． （1）当与边BC相切时，求的半径； （2）连接BP交DE于点F，设AP的长为，PF的长为，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的与相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长． 2.如图．AB是的直径，弦于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且． （1）求证：EF是的切线； （2）若的半径为13，，，求FG的长． 3.阅读材料，回答问题： 相交弦定理是指圆内的两条相交弦分别被交点分成两条线段，这两条线段的长度之积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两条线段的积相等.用几何语言表示如下：若圆内任意两条弦AB、CD交于点P，则相交弦定理下面是该定理的部分证明过程（只给出了作辅助线的方法） 如图1，的两弦AB、CD相交于点P，求证： 证明：连接AC，BD… （1）请继续完成以上相交弦定理的证明过程. （2）如图2，AB是的弦，P是AB上一点，，，，则的半径为________. 4.如图，已知点P是外一点，PS、PT是的两条切线，过点P作的割线PAB，交于A、B两点，并交ST于点C． 求证：． 5.如图1，点A在外，射线AO交于F，C两点，点H在上，，D是上的一个动点（不运动至F，H），BD是的直径，连接AB，交于点C，CD交OF于点E．且． （1）设，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当AD与相切时（如图2），求的值； （3）当时（如图3），求EF的长． 6.已知，，D是线段AB上的动点，过D作，垂足为E，四边形是正方形，点F在射线BC上，连接AG并延长交BC于点H． （1）求DE的取值范围； （2）当DE在什么范围取值时，为钝角三角形； （3）过B、A、G三点的圆与BC相交于点K，过K作这个圆的切线KL与DG的延长线相交于点L．若，这时点K与点F重合吗？请说明理由． 7.我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题，并加以研究． 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）． 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究： （1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可） （2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和n（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之； （3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，于点．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由． 8.如图，的直径，弦于H，分别切，AB，CD于点E，F，G． （1）已知，求的值； （2）当时，求EF的长； （3）设，的半径为，用含的代数式表示． 9.如图，已知的半径为1，PQ是的直径，个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上． （1）如图1，当时，求正三角形的边长； （2）如图2，当时，求正三角形的边长； （3）如题图，求正三角形的边长（用含的代数式表示） 10.如图，直角内接于，点D是直角斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作，CP交DE的延长线于点P，连结PO交于点F． （1）求证：PC是的切线； （2）若，，求AB的长． 11.如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，交于点C，连AC交PO于E点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 12.已知：如图，在中，，P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，于点N，于点Q，．求证： （1）是等腰三角形； （2）． 13.如图，直线AB经过上的点C，并且，，交直线OB于E，D，连接EC，CD． （1）求证：直线AB是的切线； （2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若，