2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—韦达定理

· 韦达定理 · 基础公式： （1） （2） · 拓展公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） · 【学以致用】 1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程两个实数根分别为，，且满足，求的值． 2.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 设此方程的两个根分别为，，若，求的值． 3.已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 4.阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，．借助该材料完成下列各题： （1）若，是方程的两个实数根，则________，________． （2）若，是方程的两个实数根，________，________． （3）若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 5.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则________； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值； （3）若方程是“倍根方程”，且与是方程的两根，求一元二次方程的根． 6.已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 7.已知，是一元二次方程＝的两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）如果，满足不等式，且为整数，求的值． 8.已知，是关于的方程两个实数根，并且， （1）求实数的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． （3）若，求的值. 9.已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若，是原方程的根，是否存在实数，使成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10.关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）设，是方程的两个根. 求①和的值； ②若，那么的值能为2吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． · 韦达定理 【参考答案】 · 【学以致用】 1、解：（1）根据题意得且， 解得且； （2）根据题意得，， ∵， ∴， 整理得，解得，， ∵且， ∴． 2、解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根． ∴， 解得：. （2）∵关于的一元二次方程的两个根分别为，， ∴， ∵ ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴实数的值为. 3、解：（1）∵，是关于的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∴， 解得或， 当时，原方程无解，故舍去，∴． （2）①当7为底边时，此时方程有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴方程变为， 解得，∵，∴不能构成三角形． ②当7为腰时，设， 代入方程得：， 解得：或4， 当时，方程变为， 解得或15，∴， ∵，∴不能组成三角形； 当时，方程变为， 解得或7，∴， ∴此时三角形的周长为． 综上所述，三角形的周长为17. 4、解：（1）∵，是方程的两个实数根， ∴，. （2）∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ． （3）∵关于的方程有两个实数根， ∴，即，或， ∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∴，即， 解得，或． 即的值是或10． 5、解：（1）设一元二次方程的根是，， 由根与系数的关系，得，， 解得，则． ∴． （2）由方程， 解得或. ∵方程是“倍根方程”， ∴或， 当时， ； 当时， . （3）由方程， 变形，得， 由根与系数的关系，得，即. 设，是方程的两根， ∵方程是“倍根方程”， ∴， 假设，则， 解得，则， 故一元二次方程的根是和. 6、解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）∵， ∴. 又∵， ∴，， ∴. 由， 得， 即， ∴，. 又∵， ∴． 7、解：（1）根据题意得： 解得： ∴实数的取值范围是 （2）根据题意得：，， ∵ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴整数的值为 8、解：（1）． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）∵为正整数， ∴， 即或2， 根据配方法可得：， 解得； ∵方程的根为整数， ∴为完全平方数， 当时，，舍去； 当时，； ∴． （3）已知，为方程的两个不相等实数根， 则，， 则， 解得，即， 所以. 9、解：（1）∵方程有实数根， ∴， ∴， ∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∴的取值范围为； （2）不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，且， 解得. ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 若成立， 则， ∵，则不成立， ∴不存在这样的值． 10、（1）证明：当时，原方程可化为， 解得：，此时该方程有实数根； 当时，方程是一元二次方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 综