2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—半角模型

· 半角模型 · 基本模型 · 模型1：正方形含半角 1、如图，在正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转到，使AD与AB重合. 结论：（1） （2） （3）的周长 · 模型2：等腰直角三角形含半角 2、如图，在，AB=AC，，，绕点A逆时针旋转到，使AB与AC重合. 结论：（1） （2）， （3） · 模型3：等边三角形含半角 3、如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，以点D为顶点作一个角，使其两边分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF，绕点D顺时针旋转到，使DB与DC重合. 结论：（1） （2） · 【学以致用】 1、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，且BE=DF，求证：CE=CF． （2）如图2，若点E，G分别在边AB，AD上，且，连接EG，求证：GE=BE+GD． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下列题目： 如图3，在四边形ABCG中，，，AB=BC=6，E是AB上一点，且，BE=2，求GE的长． 2、已知，四边形ABCD是正方形，，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H （1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明； （2）如图2，已知，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长； 小萍同学通过观察图1发现，和关于AM对称，和关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图3进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？ 3、如图，在中，，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题： （1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出和的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形； （2）设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出AD的长． 4、如图，在中，，AD⊥BC于D，将沿AC折叠为，将沿AB折叠为，延长FC和GB相交于点H． （1）求证：四边形AFHG为正方形； （2）若BD＝6，CD＝4，求AB的长． 5、如图，在四边形纸片ABCD中，，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半； （3）若EC=FC=1，求AB的长度． 6、如图所示，中，已知∠BAC等于45度，AD⊥BC于D，BD等于3，DC等于2，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换巧妙地解答了此题． 请按照小萍的思路探究并解答下列问题： （1）分别以AB、AC为对称轴，画出、的轴对称图形，D点的对称点为G、F，延长GB、FC相交于H点，证明四边形AGHF是正方形； （2）设AD等于x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出的值． 小萍是这样思考的：由折叠得：AG=________，AF=________然后利用勾股定理就可以求出x的值了．请你写出后面的推理过程． 7、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）在图1中，若G在AD上，且，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在直角梯形ABCD中，，，AB=BC=12，E是AB的中点，且，求DE的长； ②如图3，在中，，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则的面积为________（直接写出结果，不需要写出计算过程）． 8、问题情境：如图，在中，，AC=BC，D，E两点都在边AB上，. 猜想证明： （1）求证：； （2）猜想，，之间的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）若，AD=3，请直接写出线段CE的长． 9、如图（1），在中，，AB=AC．点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA．AE交边BC于点F． （1）请在图（1）中找出两组你认为相似的三角形；（不需证明，和除外．） （2）特例发现：如图（2），连结CE，当AD=AF时， ①求证：BD=CF； ②观察图形并猜想∠ACE的度数．（直接写出结果，不说理由．） （3）类比探究：如图（3），当时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由； （4）拓展运用：如图（4），在（3）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若，则DF的长为________．（直接写出结果，不说明理由） 10、初步发现：（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，小明把绕点A逆时针旋转至，从而发现EF=BE+FD.请你证明这个结论． 类比引申：（2）如图2，四边形ABCD中