2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—配方法

· 配方法 配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。 基础的配方法：若二次项系数为1，且缺少常数项，则加上一次项系数一半的平方，配成一个完全平方式；若二次项系数不为1，且缺少常数项，则先将二次项系数化为1，再加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式。 配方时主要用到以下两个公式： ① ② · 重要结论： ① ② ③ · 题型一：一元二次方程求解 例1、解方程 解： ∴ 例2、解方程 解：首先将项拆成和 得 因此，或 所以，原方程的四个根为： · 题型二：二次函数求最值 例3、已知实数满足，则的最大值为多少? 解：∵ ∴ ∴ ∴ · 题型三：证明非负性 例4、证明： 解： · 题型四：分解因式 例5、分解因式： 解：原式 · 题型五：求抛物线的顶点坐标 例6、求抛物线的顶点坐标。 解： 故此抛物线的顶点坐标为 · 题型六：代数求值 例7、已知有理数x,y,z满足，那么，的值为多少？ 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ · 题型七：证明字母的值相等 例8、已知是的三边，且满足，判断这个三角形的形状，并说明理由。 解：是等边三角形 理由如下：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 · 题型八：比较大小 例9、若代数式，试比较M与N 的大小。 解： ∵ ∴ ∴ · 【学以致用】 1.阅读理解并解答：（方法呈现） （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如： 则这个代数式的最小值是________，这时相应的x的值是________ （尝试应用） （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．（拓展提高） （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 2.阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1. （1）当________时，代数式有最________（填“大”或“小”）值为________； （2）当________时，代数式有最________（填“大”或“小”）值为________． （3）如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 3.某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为，所以有． 展示1：阿尔•花拉子米构图法 如图1，由方程结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形． （1）图2中，补上的空白小正方形的边长为________；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为________； 展示2：赵爽构图法 如图3，用4个长都是，宽都是的相同矩形，拼成如图3所示的正方形． （2）图3中，大正方形面积可以表示为________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于________，故可得原方程的一个正的根为________． （3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）． 4.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：， ∵， ∴，即的最小值是1.试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知，求的最小值． （2）比较代数式与的大小，并说明理由． （3）如图，在中，，，，点P在AC边上以的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为，运动时间为秒，求S的最小值． 5.甲、乙两位同学在求二次函数的函数值的取值范围时分别有以下方法： 甲：配方思想，即. ∵，∴. 乙：方程思想，即关于的方程有解， ∴， 解不等式得. （1）求二次函数