2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—倍长中线

· 倍长中线 · 基本模型 中线是三角形中的重要线段之一，当已知条件中出现中线时，常利用倍长中线法构造全等三角形解决问题. · 模型1：直接倍长中线 1、如图，在中，AD是BC边上的中线. 辅助线做法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，CE. 结论：（1） （2） （3）四边形ABEC是平行四边形 · 模型2：间接倍长中线 2、如图，在中，AD是BC边上的中线，点M是AB边上的一点. 辅助线做法：延长MD到点N，使DN=MD，连接CN. 结论： · 【学以致用】 1.如图，为的中线． （1）求证：． （2）若，，求的取值范围． 2.如图，在中，平分，且，求证：． 3.如图，是的中线，是的中线，且． 求证：①；②平分． 4.如图，在中，是边的中点，是上一点，，的延长线交于点．求证：. 5.如图，在中，交于点，点E是BC的中点，交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG＝CF．求证：AD为的角平分线． 6.如图，在四边形ABCD中，，点E在BC上，点F是CD的中点，且，已知，，求CE的长． 7.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，为等腰直角三角形，，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：且． 8.如图，与均为等腰直角三角形，，，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由． 9.如图，为等边三角形，，，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG.下列结论：①；②若，则；③在②的条件下，若，则.其中正确的有（ ） A.①②③都正确 B.只有①②正确 C.只有②③正确 D.只有①③正确 10.小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为BC的中点，求AD的取值范围. 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使，连接BE，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：（1）小明证明用到的判定定理是什么？(用字母表示)， （2）AD的取值范围是多少？； （3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造. 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点G、F分别为AD，BC边上的点，若，，，求GF的长. 11.如图1，在中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使，连接CG，可以得到，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”. 如图2，在中，点D是BC的中点，点E是AB上一点，连接ED，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED到点G，使，连接CG. （1）请直接写出线段BE和CG的关系：； （2）如图3，若，过点D作交AC于点F，连接EF，已知，，其它条件不变，求EF的长. 12.自主学习，学以致用 先阅读，再回答问题：如图1，已知中，AD为中线。延长AD至E，使.在和中，，，，所以，，进一步可得到，等结论. 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题。 解决问题：如图2，在中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且，连结并延长BF交AC于点E，求证：. 13.定义：如图1，在中，把AB绕点A逆时针旋转并延长一倍得到AB'，把AC绕点A顺时针旋转并延长一倍得到AC'，连接B'C'.当时，称是的“倍旋三角形”，边上B'C'的中线AD叫做的“倍旋中线”. 特例感知： （1）如图1，当，时，则“倍旋中线”AD长为；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”AD与BC的数量关系为？； 猜想论证： （2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”AD与BC的数量关系，并给予证明. 14.已知抛物线经过，，，点P为抛物线上一动点，直线与轴交于点D. （1）求此抛物线解析式； （2）如图1，连结OP并倍长至Q，试说明在直线上有且仅有一点M，使； （3）如图2，连结PO并延长交抛物线于另一点T，求证：y轴平分. · 倍长中线 【参考答案】 1、解：（1）证明：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE， ∴AE＝2AD． ∵AD是的中线， ∴BD＝CD， 在和中，， ∴， ∴BE＝AC， 在中，， ∴； （2）解：由①可知AE＝2AD，BE＝AC， 在中，， ∵AC＝3，AB＝5， ∴， ∴， ∴. 2、证明：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE． 在和中，， ∴， ∴AC＝EB，∠2＝∠E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠E， ∴AB＝BE， ∴AB＝AC. 3、证明：如图，延长CD到F，使DF＝CD，连接BF． 由题意可得CF＝2C