2024年九年级中考数学压轴题锦囊妙计—一线三等角

· 一线三等角 · 基本模型 · 模型1：同侧型 1、点P在线段AB上，. （1）锐角一线三等角 （2）一线三垂直 （3）钝角一线三等角 结论： 2、点P在线段AB的延长线上，. （1）锐角一线三等角 （2）一线三垂直 （3）钝角一线三等角 结论： · 模型3：中点型一线三等角 3、如图，当，D是BC中点时，. 【学以致用】 1、 如图，在等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作与点D，过点B作于点E.求证：. 2、 如图，在四边形ABCD中，，，，若点P是AD上的一点，且，求AP的长. 3、如图，等边的边长为3，P为BC上一点，且，D为AC上一点，若，求CD的长. 4、如图，四边形ABCD中，，，过点C作， 与AB交于点E.求证：. 5、如图，在中，，D是BC的中点，，求证：. 6、如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作. （1）当时，，； （2）线段DC的长度为何值时，，请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD中，将沿PC折叠，使点B落在AD上点处，若，，求的值. 8、如图，半圆O的直径，，点D在上，且，点P是半径OC上的一个动点，连接DP，过点P作，交直径AB于点F，当点P在半径OC上移动时，求点F可左右移动的最大距离. 9、如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点（不包括A、B两点），C是线段OB上一点，，若，求点P的坐标. 10、如图，在平面直角坐标系中，，，点B在的图像上，求过点A的反比例函数的解析式. 11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点P是抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，将线段PB绕着点P逆时针旋转得到PC，当点C恰好落在抛物线上时，求点P的坐标. 12、如图①，在中，，，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，于点D，于点E. （1）填空：线段BD与DE、CE之间的数量关系为 ； （2）若直线AE绕点A旋转到如图②位置时，其他条件不变，判断线段BD与DE、CE之间的数量关系，并说明理由； （3）若直线AE绕点A旋转到如图③位置时，其他条件不变，判断线段BD与DE、CE之间的数量关系怎样？请写出结果，不必证明. 图① 图② 图③ 13、在中，，，点D在BC所在的直线上运动，作（点E在点A右侧）. （1）如图①，若点D在线段BC上运动，DE交AC于点E. ①求证：； ②当是等腰三角形时，求AE的长； （2）如图②，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，求出线段CD的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）如图③，若点D在BC的反向延长线上运动，DE交AC的延长线于点E，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由. 图① 图② 图③ 14、如图，在矩形ABCD中，P是AB的中点，Q是BC上一动点，沿PQ折叠，点B落在点E处，延长QE交AD于点M，连接PM. （1）求证：； （2）当时，将沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处. ①求证：； ②若，，求BC的长. 15、如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C. （1）求抛物线的表达式； （2）点D是直线BC 下方的抛物线上的一点，连接AC、BD、CD，当四边形ABDC的面积最大时，求点D的坐标； （3）点M是抛物线上一点，将线段AM绕点A顺时针旋转得到AN，若点N在抛物线的对称轴上，求点M的坐标. · 一线三等角 【参考答案】 1、提示：证明 2、提示：证明或 3、提示：证明 4、提示：证明 5、提示：证明 6、提示：（1）25，65； （2）证明 7、提示：证明 8、提示：过点D作于点E，证明 得出OP与OF之间的数量关系，利用二次函数求最值。 9、提示：是等腰直角三角形，过点P作于点D是等腰直角三角形，证明 10、提示：证明求出点A的坐标，代入反比例函数解析式求得比例系数，解析式为 11、提示：将点A、B的坐标代入二次函数解析式，求出抛物线解析式为，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作于点M，证明， 12、提示：（1）证明， （2）证明， （3）证明， 13、提示：（1）①由 ②分三种情况：（a）当时，点D、E分别与点B、C重合 （b）当时， （c）当时， ∴AE的长为2或或1 14、提示：（1）由 （2）证明，再证明 15、提示：（1）抛物线的解析式为： （2），只需求的最大值，利用三角形面积公式铅垂高乘以水平宽求出面积最值，此时点D坐标为 （3）分点M、N在x轴异侧和同侧两种情况讨论，