2024年九年级中考数学压轴题专项练习—菱形综合题

中考数学压轴题专项练习 菱形综合题 1．（2023•宽城区校级开学）如图，在△ABC中，BA＝BC＝10，BC边上高为8，点D为边BC的中点，点P从点B出发，沿折线BA﹣AC向点C运动，在BA、AC上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以PA、PD为邻边作▱APDE．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）①线段AC的长为　 　； ②用含t的代数式表示线段AP的长； （2）当点E在△ABC内部时，求t的取值范围； （3）当▱APDE是菱形时，求t的值； （4）作点B关于直线PD的对称点B′，连接B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值． 2．（2023春•丰台区期末）在平面直角坐标系中，对于点和菱形，给出如下定义：若菱形上存在一点，使点绕点逆时针旋转的对应点在菱形的较短的一条对角线上，则称点为菱形的环绕点．图1为菱形的环绕点的示意图． 如图，设菱形的中心为，，点和点都在轴上，且． （1）在点，，中，菱形的环绕点是　　； （2）若为菱形的环绕点，求的取值范围； （3）设正方形以点为中心，各边均与坐标轴平行，边长为．若正方形上任意一点都是菱形的环绕点，请你直接写出的取值范围． 3．（2023春•丰都县期末）已知在菱形中，，连接对角线． （1）如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点． ①求证：； ②过点作，垂足为，求证：； （2）如图2，已知，将沿射线平移，得到△，连接，，请直接写出的最小值． 4．（2023春•青羊区校级期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　； （2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，连接CE．求证：CE+PD＝BD； （3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE．若，，求PD． 5．（2023春•连城县期中）如图①，点是等边中线上一点，连接，为等边三角形，连接． （1）求证：； （2）如图②，当在线段的延长线上，求证：； （3）如图③，，点是射线的动点，是否其中存在以、、为顶点的菱形，若存在，请直接写出线段的长度（不写过程），若不存在，说明理由． 6．（2023春•思明区校级期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点是线段的中点，点，线段与轴交于点（备注：在平面直角坐标系中以任意两点，、，为端点的线段中点坐标为． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，点，分别在线段，上，，且，求线段的长． 7．（2023春•天宁区校级期中）在菱形中，．点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． （1）如图1，当点在线段上时，连接，与的数量关系是　　；与的位置关系是　　； （2）当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理） （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，请直接写出的长． 8．（2023•武义县一模）如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与轴相交于点． （1）求和的值． （2）根据图象，当时，求的取值范围． （3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标． 9．（2023•衡水二模）如图，和均为边长为4的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． （1）求证：四边形是菱形； （2）求的最小值； （3）若与垂直，求的长． 10．（2023春•思明区校级期中）如图，中，，，，点从出发沿以每秒2个单位的速度向终点匀速运动，同时，点从出发沿以每秒1个单位的速度向终点匀速运动．设点、运动的时间为，作于，连、． （1）求证：； （2）当为多少时，四边形为菱形？说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？说明理由． 11．（2021秋•东乡区校级期末）如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求的长以及菱形的面积； （3）在（2）的条件下，若动点从出发，沿以2米秒的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿以1米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为2平方米． 12．（2022•三亚模拟）如图1，在菱形中，是锐角，、分别是边、延长线上的动点，连接、分别交、于点、． （1）当且时，证明：； （2）如图2，当时，连接、． ①证明：； ②若，，则当为何值时，是以为底边的等腰三角形． 13．（2022春•雨花区校级期末）如图，已