2024年九年级中考数学压轴题专项练习—正方形综合题

中考数学压轴题专项练习 正方形综合题 1．（2023•海淀区校级开学）如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，延长CP至E，连结DE，使DE＝DC，DN平分∠ADE，交CE于点N，连接AE、AN、BN． （1）依题意补全图形； （2）判断△ANE的形状，并证明； （3）用等式表示线段AN、BN、CN三者之间的数量关系，并证明． 2．（2023春•殷都区期末）如图，四边形是正方形，点在线段上，点在射线上，且，连结，点为线段中点． 【感知】如图1，当点在线段上时， ①易证：与全等（不需要证明）．进而得到与的数量关系是 　　． ②过点作于点，于点，易证：（不需要证明）．进而得到与的位置关系是 　　． 【探究】如图2，当点在线段上（点不与点，重合）时，试写出与的数量关系和位置关系，并说明理由． 3．（2023春•东阳市月考）如图1，已知在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上， （1）求证：△AEF∽△DFC； （2）如图2，G为CD的中点，连结BG分别与CE，CF相交于M，N两点．若BE＝BM，MG＝2，求CD的长度； （3）在（2）的条件下求出BN的长度和cos∠AEF的值； （4）在（2）的条件下求出EF的长度． 4．（2023春•盐都区月考）已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、． （1）如图1，求证：； （2）直线与相交于点． ①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 5．（2023春•海州区期中）如图（1），点是正方形的边上一点（点与点，不重合），点在的延长线上，且，连接，． （1）求证：； （2）直线交于，连接，．点是与的交点． ①若是的中点时，求证：． ②若 是大于1的实数）时，记的面积为，的面积为，求证：． 6．（2023•宁阳县一模）综合与实践 如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，，垂足为． 【证明与推断】 （1）①四边形的形状是 　　； ②的值为 　　； 【探究与证明】 （2）在图1的基础上，将正方形绕点按顺时针方向旋转角，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展与运用】 （3）如图3，在（2）的条件下，正方形在旋转过程中，当、、三点共线时，探究和的位置关系，并说明理由． 7．（2023春•新野县期末）动手操作：利用“正方形纸片的折叠”开展数学活动，探究在正方形折叠的过程中图形的变化及其蕴含的数学思想方法． 折一折：如图1，已知正方形的边长，将正方形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，展开正方形，折痕为，延长交于点，连接． 思考探究：（1）图1中，与全等的三角形有 　　个，　　，、、三者的数量关系是 　　； 转一转：将图1中的绕点旋转到图2所示位置，与、的交点分别为、，连接． 证明推理：（2）图2中，、、三者的数量关系是 　　，并给出证明； 开放拓展：（3）如图3，在旋转的过程中，当点为的中点时，的长为 　　． 8．（2023•长垣市二模）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一；如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点，，三点共线，且①　　； ②线段，，之间的数量关系为 　　． 【深入探究】 操作二：如图2、将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，当点在边上某一位置时（点不与点，重合），点恰好落在折痕上，此时交于点，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①；②．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点落在折痕或上时，请直接写出线段的长． 9．（2023•武功县模拟）（1）问题提出：如图1，在和中，点在上，，．若的面积为6，则的面积为　　； （2）问题探究：如图2，四边形是正方形，点是平面内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若恰好经过点，连接，求证：； （3）问题解决：如图3，某试验基地有一块形状为四边形的试验田，为方便灌溉，现要以为边向左修建一个正方形蓄水池．已知在四边形中，，与互余，连接、，，，．若修建蓄水池的成本是10元平方米，求修建正方形蓄水池的总成本（用含的式子表示）． 10．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形，点为对角线上一动点，将绕点顺时针旋转到处，得到，连接． 填空：①　　； ②的度数为 　　； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接