2024年九年级中考数学压轴题专项练习—猜想归纳思想

中考数学压轴题专项练习 猜想归纳思想 1．（2023春•鄂城区期中）【阅读材料】说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：，如图1，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是求的最小值． 设点关于轴的对称点为，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： 【基础训练】（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点　　的距离之和；（填写点的坐标） 【能力提升】（2）求代数式的最小值为 　　； 【拓展升华】（3）如图2，在等腰直角中，，点，分别为，上的动点，且．当的值最小时，求的长． 2．（2017秋•安溪县校级月考）观察图，解答下列问题． （1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？第层呢？ （2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？ （3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或， 由此得，． 同样， 由前三层的圆圈个数和得：． 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来． （4）计算：的和； （5）计算：的和． 3．（2015秋•东海县期末）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有如图所示的两种摆放方式： （1）当有张桌子时，第一种摆放方式能坐 　　人； 第二种摆放方式能坐 　　人；（结果用含的代数式直接填空） （2）一天中午餐厅要接待52位顾客同时就餐，但餐厅只有13张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算如何用这两种方式摆放餐桌，才能让顾客恰好坐满席？说明理由． 4．（2015春•市中区校级期末）观察下面的几个算式： ①； ②； ③； （1）仿照上面的书写格式，请迅速写出的结果； （2）请你自己模仿上面数的特点再举出一个例子，并按照上面格写出结果； （3）用多项式的乘法验证你所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是，，其中 5．（2013秋•睢宁县期中）如图，在一些大小相等的正方形内分别紧密排列着一些等圆． （1）根据你的观察与分析，你认为正方形内圆的数目是否呈规律性的变化？如果是，则第个图形中共有 　　个圆； （2）若正方形的边长是，分别计算图①、②、③中阴影部分的面积； （3）分析（2）中计算的结果，你有什么发现？请你求出第个图形中阴影部分的面积来说明你的发现． 6．如图1，在中，，，点在线段上移动，点在射线上，满足，设，． （1）甲同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与是什么函数关系，根据数据求出这个函数表达式． （2）乙同学觉得甲同学的猜想肯定是对的，但猜想不能代替证明，于是他利用甲的猜想，发现，只要能证明，那么（1）中猜想就可以证明了，然而怎么证明呢？丙同学觉得可以构造，使得，再证明，请你根据两位同学的想法，完成（1）中猜想的证明． （3）如图2，作，，垂足分别为，，，，求的面积． 7．（2023春•宝塔区期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）　　，　　，点的坐标为 　　； （2）当点移动4秒时，请指出点的位置，并求出点的坐标； （3）在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间． 8．（2023春•市南区校级月考）阅读材料： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：？经过研究，这个问题的一般性结论是，其中是正整数． 问题提出：在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？ 问题解决： 我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试． （1）在这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法． （2）在这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则