2024年九年级中考数学压轴题专项练习—数学建模思想

中考数学压轴题专项练习 数学建模思想 1．（2023春•大连期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，直线与轴负半轴交于点，且．直线与直线交于点，点在轴上． （1）求直线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）如图2，连接，若，求点的坐标． 2．（2021秋•上城区期末）已知，两直角边与之和为4，作的外接圆，点为圆心． （1）如图1，连结，当时，求的值． （2）如图2，过点作于点，点为中点，连结，求证：． （3）如图3，作的平分线交于点，线段是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 3．（2021•临海市一模）【发现问题】 小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系：． 【提出问题】 对于任意一个矩形，是否一定存在矩形，使得成立？ 【解决问题】 （1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为和，使得成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由； （2）矩形两条邻边长分别为和1，若一定存在矩形，使得成立，求的取值范围； （3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形两条邻边长，满足什么条件时一定存在矩形． 4．（2017秋•汉阳区校级月考）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围． （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ （3）根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 5．（2011•白下区一模）（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在之间，时针与分针重合的时刻是多少？”时，小明尝试运用建立函数关系的方法： ①恰当选取变量和．小明设2点钟之后经过，时针、分针分别与竖轴线（即经过表示“12”和“6”的点的直线，如图所成的角的度数为、； ②确定函数关系．由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出、关于的函数关系式，也可以画出它们的图象．小明选择了后者，画出了图2； ③根据题目的要求，利用函数求解．本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题． 请你按照小明的思路解决这个问题． （2）请运用建立函数关系的方法解决问题：钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？ 6．（2023春•船营区校级期末）如图①，直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线相交于点，已知点的坐标为，点的横坐标为2． （1）直接写出点，的坐标； （2）求出直线的函数表达式； （3）如图②，点是射线上任一点，过点作轴的平行线交直线于点，连接．设点的横坐标为，的面积为． ①用表示点，的坐标：　　，　　； ②求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 7．（2023春•荆门期末）如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄，江边原有两个观景台，，其中，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄到江边的最短路线？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 8．（2023春•宁江区期中）如图，在中，，厘米，厘米．两个动点，分别从，两点同时按顺时针方向沿的边运动．当点运动到点时，，两点运动即停止．点，的运动速度分别为1厘米秒、2厘米秒，设点运动的时间为（秒．记线段与从点按顺时针方向沿的边到点的折线段所围成的图形的面积为（平方厘米）． （1）用含的代数式表示的长； （2）当点，运动时，求与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点，在运动的过程中，有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 9．（2023春•南通期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”． （1）在①，；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有 　　（填序号）； （2）若关于的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求的值； （3）若关于的函数图象存在“级限距点”，求出的取值范围． 10．（2023春•碑林区校级期中）如图①，点、点分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． （1）　　； （2）在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角