2024年九年级中考数学压轴题专项练习—数形结合思想

1．（2022秋•惠阳区校级月考）解答下列各题： （1）如图1，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交DC于点E．求证：CD＝CE； （2）若将图1中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于Bʹ，其他条件不变（如图2），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？ （3）若将图1中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变（如图3），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？ 2．（2023•碑林区校级开学）如图，等边△ABC中，CD∥AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得∠APQ＝∠BAC． （1）①如图1，∠PAC与∠PQC的数量关系为 　 　； ②如图1，线段AP，PQ的数量关系为 　 　； （2）如图2，若将“等边△ABC”改为“等腰直角△ABC（AB＝AC）”，其他条件不变，求证：AP＝PQ； （3）如图3，若继续将“等腰直角△ABC”改为“等腰△ABC（AB＝AC）”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由． 3．（2023春•北仑区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于E，AB＝CD，过A作AF⊥BC于F． （1）猜想AE与CE的数量关系：　 　． （2）①判断AC与BD的位置关系，并说明理由； ②求证：AC＝2CF+BD； （3）若S△CFA＝S△CBD，求tan∠BDC的值． 4．（2023春•辽阳期中）【探究】（1）如图1，在四边形中ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：FD延长到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系．他的结论是 　 　． 【拓展】（2）如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°．将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，则四边形ABCD的面积为 　 　cm2． 5．（2023春•西华县期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动（即沿着长方形移动一周）． （1）直接写出点B的坐标； （2）当点P移动了3秒时，在图中描出此时P点的位置，并求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，并求点P移动的时间． 6．（2023•梅县区一模）综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现A4纸的长与宽分别为297mm和210mm，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“”．不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”．【操作实践】：如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形ABCD，连接对角线BD，在射线DC上截取了DE＝DB，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，令AB＝1． 【问题探究】：（1）求证：四边形AFED为“标准矩形”； （2）如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段EF上取一点P，连接BP，DP． ①当DP平分∠BDE时，求PF的长； ②当△BDP的周长最小时，求∠PBF的正切值． 7．（2023春•抚松县期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝6，动点P从点A出发，以2个单位长度/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，以PA为一边作∠APG＝120°，另一边PG与折线AC﹣CB相交于点G，以PG为边作菱形PGFE，点E在线段PB上．设点P的运动时间为x（s）． （1）当点G在边AC上，直接写出PG的长并标出取值范围（用含x的代数式表示）； （2）当点F落在边BC上时． ①求x的值； ②直接写出此时点E，点F的坐标； ③点M在y轴上，点Q在直线BC上，当以E、F、M，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直