2024年九年级中考数学压轴题专项练习—分类讨论思想

中考数学压轴题专项练习 分类讨论思想 1．（2022秋•丰都县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求点的坐标以及面积的最大值． （3）如图3，将点右移一个单位到点，连接，将（1）中抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023春•小店区期末）综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，中，，．将从图1的位置开始绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为点，，旋转角为． 操作思考：（1）如图2，“明辨”小组画出了恰好经过点时的图形．求此时旋转角的度数； （2）如图3，“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点作的平行线交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由； 拓展探究：（3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将沿射线的方向平移，点，，的对应点分别为，，．若，当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 3．（2023•济南模拟）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接， 若，求的值； （3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标． 4．（2022秋•宁海县校级期中）如图，在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的周长． （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 5．（2021秋•锦江区校级月考）如图1，在中，，，为的中点，连结．过点作射线，为射线上一动点． （1）求的长和的面积； （2）如图2，连结交于点，连结，作点关于的对称点，当点恰好落在的边上时，连结，求△的面积． （3）如图3，连结，，在点的运动过程中，若为等腰三角形，求所有满足条件的的长． 6．（2021•三亚模拟）如图，已知抛物线与轴交于点和两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为抛物线第二象限上一点，连接交线段于点，与的面积比为． ①求点的坐标； ②过点作直线轴，点是直线上的点，点是抛物线上一动点，是否存在这样的、，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2021•南岸区校级模拟）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点在轴的正半轴上． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点作交于点，连接，设的长为，的面积为，求的最大值； （3）若点在抛物线的对称轴上，是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．（2021秋•郸城县月考）（1）观察猜想：如图1，是以、为腰的等腰三角形，点、点分别在、上，且，将绕点逆时针旋转．如图1：请直接写出旋转后与的数量关系　　． （2）探究证明：如图2，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交与两边于点、点．将绕点逆时针旋转至图2所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，是直角三角形，，，、分别是与的中点，现将绕点旋转（旋转角，当是直角三角形时，求的长． 9．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在中，，，，点，分别在边，上，在线段左侧构造，使． （1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：． （2）当时，连接，取的中点，连接． ①如图2，若点落在边上，求的长． ②是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由． 10．（2021•高邮市二模）如图，是的高，，，，点是边上的一个动点（与、不重合），于点，，于点，交于点，连接． （1）若点是的中点，则　　； （2）在点的运动过程中， ①的值为　　； ②当点运动到何处时，线段最小？最小值是多少？ ③当是等腰三角形时，求的长． 11．（2018春•淮阴区校级期中）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．点为顶点，点为点关于对称轴的对称点