2024年九年级中考数学压轴题专项练习—四边形中的新定义问题

中考数学压轴题专项练习 四边形中的新定义问题 1．（2023•平远县一模）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长　　，面积为 　　． （2）类比探究 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，则此完美长方形的周长为 　　，面积为 　　． 2．（2023•五华县一模）【定义】 对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”． 如图1，四边形为“等角线四边形”，即，． 【定义探究】 （1）判断下列四边形是否为“等角线四边形”，如果是在括号内打“”，如果不是打“”． ①对角线所夹锐角为的平行四边形． 　　 ②对角线所夹锐角为的矩形． 　　 ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． 　　 【性质探究】 （2）如图2，以为边，向下构造等边，连接，请直接写出与的大小关系； （3）请判断与的大小关系，并说明理由； 【应用提升】 （4）若“等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为 　　． 3．（2023春•碑林区校级期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做睦邻四边形． 探索理解： 如图1，已知、、在格点（小正方形的顶点）上，若想在网格内确定一个格点，使四边形为睦邻四边形，则符合要求的点有 　　个； 尝试解决： 如图2，睦邻四边形中，，，，，，求四边形面积． 实际应用： 如图3，点到正方形四个顶点距离相等，正方形内另有一点，满足，，且，若要在边上确定一点，使点到点和点的距离之和最小，请你找出点的位置，并求出这个最小值． 4．（2023•澧县三模）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形　　（填“是”或“不是” “直等补”四边形； （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，过点作于． ①过作于点，试证明：，并求的长； ②若是边上的动点，求周长的最小值． 5．（2023春•西城区校级期中）附加： 在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点． （1）如图1，已知点，． ①设点与线段上一点的距离为，的最小值是 　　，最大值是 　　； ②在，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是 　　； （2）如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围； （3）已知点，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围． 6．（2023春•丰台区校级期中）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴垂直，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图为“率矩形” 的示意图． （1）已知“率矩形” ，且，求的值； （2）已知， ①若矩形为“2率矩形”，且直线平分该矩形的面积．求的值； ②若矩形为“1率矩形”，且矩形的面积不小于，直接写出的取值范围． 7．（2023春•西城区校级期中）平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为：，，，，，，，，、是这个正方形外两点，且．给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段（其中，分别是点，的对应点），记线段的中点为．若点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重合，则称线段长度的最小值为线段到正方形的“回归距离”，称此时的点为线段到正方形的“回归点”． （1）如图1，平移线段，得到正方形内两条长度为1的线段和，这两条线段的位置关系为 　　；若，分别为和的中点，则点 　　（填或为线段到正方形的“回归点”； （2）若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“回归距离”为，请直接写出的最小值：　　，并在图2中画出此时线段到正方形的“回归点” （画出一种情况即可）； （3）请在图3中画出所有符合题意的线段到正方形的“回归点”组成的图形． 8．（2022秋•凤城市期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点． （1）求证：四边形是垂美四边形； （2）猜