2024年九年级中考数学压轴题专项练习—三角形中的新定义问题

中考数学压轴题专项练习 三角形中的新定义问题 1．（2023•广陵区校级四模）我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是的“比例中点”． （1）如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是的“比例中点”，则点的坐标为 　　； （2）如图3，已知中，，，，若点是的“比例中点”，求； （3）如图4，已知是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由． 2．（2022秋•泰兴市期中）我们类比黄金分割点给出如下定义：如图点、、在同一条直线上，，则称点为，的“银杏点”．特别地，若为的中点时，则为，的“银杏点”， 也为，的“银杏点”． （1）已知，点在线段上，若点为，的“银杏点”，则　　． （2）如图，为的重心，则下列说法正确的是 　　（填序号）． ①为，的“银杏点”； ②为，的“银杏点”； ③为，的“银杏点”； ④为，的“银杏点”． （3）如图，在中，．若，． ①求的长； ②当点在边上，且、、中有一点为其它两点的“银杏点”．点在直线上，且．求的长． 3．（2022•任城区三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图①在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）　　． （2）　　． （3）如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 4．（2021秋•鼓楼区校级期末）定义1：如图1，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义2：如图2，在中，的三个顶点、、分别在，、上，若和关于满足“光学性质”， 和关于满足“光学性质”， 和关于满足“光学性质”，则称为的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在中，，，三个顶点、、分别在、，上． （1）如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； （2）如图4，在中，作于，以为直径的圆分别交，于点，． ①证明：为的光线三角形； ②证明：的光线三角形是唯一的． 5．（2021•柯城区模拟）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“等底高三角形”，这条边叫做等底线，这条边上的高叫做等高线．如图：在，于点，且，则为等底高三角形，叫等底线，叫等高线． 【概念感知】 判断：对的打“”，错的打“”． （1）等边三角形不可能是等底高三角形． 　　 （2）等底高三角形不可能是钝角三角形． 　　 【概念理解】 若一个等腰三角形为等底高三角形，则此三角形的三边长之比为 　　． 【概念应用】 （1）若为等底高三角形，等底线长为2，求三角形的周长的最小值． （2）若一个等底高三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值． 6．（2021•宁波模拟）在三角形的三边中，若其中两条边的积恰好等于第三边的平方，我们把这样的三角形叫做有趣三角形，这两条边的商叫正度，记为． （1）求证：正度为1的有趣三角形必是等边三角形． （2）如图①，四边形中，，平分，，求证：是有趣三角形． （3）如图②，菱形中，点，是对角线的三等分点，．延长到，使． 求证：，，是具有相同正度的有趣三角形． 7．（2021秋•西城区校级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点，，，，定义它们之间的“直角距离”为． 对于平面直角坐标系内的任意两个图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“直角距离”，记作． （1）已知，，则　　，　　； （2）已知，，若，则的取值范围是 　　； （3）已知，若坐标平面内的点满足，则在图中画出所有满足条件的点所构成的图形，该图形的面积是 　　； （4）已知，，直线过点且垂直于轴，若直线上存在点满足，，，则的取值范围是 　　． 8．（2021秋•北仑区期中）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为 　　，的度数为 　　． （2）如图2，为等腰直角三角形，，是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点，，按顺时针排列），，交于点，连结，．当时，求证：是的智慧线． （3）如图3，中，，．若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积． 9．（2020•岳麓区校级二模）定义：在中，若有两条中线互相垂直，则称为中垂三角形，并且把叫做的方周长，记作，即． （1）如图1，已知是中垂三角形，，分别是，边