2024年九年级中考数学压轴题专项练习—函数中的新定义问题

中考数学压轴题专项练习 函数中的新定义问题 1．（2023春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，对于点和图形，若图形上存在点，使得直线经过第四象限，则称点是图形的“四象点”．已知点，． （1）在点，，中，　　是线段的“四象点”； （2）已知点，，若等边，，顺时针排列）上的点均不是线段的“四象点”，求的取值范围； （3）已知以，，，，，，，为顶点的正方形，若线段上的点是正方形的“四象点”，请直接写出点的横坐标的取值范围． 2．（2023•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中，点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数“的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为． （1）写出函数关于直线的“迭代函数“的解析式为 　　． （2）若函数关于直线的“迭代函数“图象经过，则　　． （3）已知正方形的顶点分别为： ，，，，其中． ①若函数关于直线的“迭代函数“的图象与正方形有3个公共点，则　　； ②若，函数关于直线的“迭代函数“的图象与正方形有4个公共点，则的取值范围为 　　． 3．（2023•开福区校级一模）对某一个函数给出如下定义，当自变量满足（m，为实数，时，函数有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数． （1）当，时，在①；②中，　　是理想函数； （2）当时，反比例函数是理想函数，求实数的值； （3）已知二次函数是理想函数，且最大值为．将该函数图象向左平移个单位长度所得图象记为，若图象的顶点为，与轴交于，在的左侧），与轴交于点，点，分别为的外心和内心，求以为边长的正方形面积． 4．（2023•门头沟区一模）在平面直角坐标系中，已知图形上的两点，（点，不重合）和另一点，给出如下定义：连接，，如果，则称点为点，的“条件拐点”． （1）如图1，已知线段上的两点，． ①点，，中，点，的“条件拐点”是 　　； ②如果过点且平行于轴的直线上存在点，的“条件拐点”，求的取值范围； （2）如图2，已知点，，过点作直线轴，点，在直线上，且．如果直线上存在点，的“条件拐点”，直接写出的取值范围． 5．（2023•苏州二模）定义：若存在实数对坐标同时满足一次函数和反比例函数，则二次函数为一次函数和反比例函数的“生成”函数． （1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数和反比例函数是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标． （2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“生成”函数，求的值． （3）若同时存在两组实数对坐标，和，使一次函数和反比例函数为“生成”函数，其中，实数，，设，求的取值范围．（注：一元二次方程的求根公式为 6．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形绕直线上某一点顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形，我们称图形为图形关于点的二次关联图形．已知点． （1）若点的坐标是，直接写出点关于点的二次关联图形的坐标 　　； （2）若点关于点的二次关联图形与点重合，求点的坐标（直接写出结果即可）； （3）已知的半径为1，点关于点的二次关联图形在上且不与点重合．若线段，其关于点的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时点坐标及点的纵坐标的取值范围． 7．（2022春•慈溪市校级期中）【学习新知】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有． 我们记“”，即时，方程为倍根方程． 【问题解决】 （1）方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是 　　（填序号即可）； （2）若是倍根方程，求的值； （3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式并求出方程的解． 8．（2022春•顺义区校级月考）在平面直角坐标系中，对于点和线段，我们定义点关于线段的线段比． （1）已知点，，． ①点关于线段的线段比　　； ②点关于线段的线段比　　； ③点关于线段的线段比，求的值． （2）已知点，点，直线与坐标轴分别交于，两点，若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，直接写出的取值范围． 9．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）． （1）已知点，，为轴上的一个动点， ①若点与点的“非常距离”为2