2024年九年级中考数学压轴题专项练习—圆中的定值问题

中考数学压轴题专项练习 圆中的定值问题 1．（2022春•崇川区校级月考）在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“起落点”，称为点关于图形的“起落三角形”． （1）已知点，， ①在点，，中，原点关于点的“起落点”是 　　； ②点在直线上，若点是原点关于线段的“起落点”，求点的横坐标的取值范围； （2）若的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“起落点”，且对应的“起落三角形”是底边长为2的等腰三角形，请直接写出的取值范围． 2．（2021•罗湖区一模）问题：如图1，中，是直径，，点是劣弧上任一点．（不与点、重合） 求证：为定值． 思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程． 证明：在上截取点．使．连接． 运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接，． （1）的长为 　　． （2）如图3，过、两点作与轴的负半轴交于点，与的延长线交于点，连接、，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，请求出的值． 3．（2018•荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点、的坐标分别是，、 ，，则、这两点间的距离为．如，，则． 对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线． 解决问题：如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作直线平行于轴． （1）到点的距离等于线段长度的点的轨迹是　　； （2）若动点满足到直线的距离等于线段的长度，求动点轨迹的函数表达式； 问题拓展：（3）若（2）中的动点的轨迹与直线交于、两点，分别过、作直线的垂线，垂足分别是、，求证： ①是外接圆的切线； ②为定值． 4．（2018•滨州模拟）如图，为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，在点处切线交于点， （1）若，求证：平分； （2）若，求的长度； （3）证明：无论点在弧上的位置如何变化，为定值． 5．（2017•鹿城区校级一模）在平面直角坐标系中，正方形，，，，现有一个动点从点出发，向轴的负方向运动，速度为每秒1个单位，同时另一个动点以相同的速度．从点出发，向轴正方向运动，作直线，交射线于，设两运动点运动的时间为秒． （1）求证：； （2）求出直线的解析式（用含的式子表示）； （3）求为何值时，为等腰三角形； （4）当在线段上运动时，过、、三点的一个圆交于，点关于的对称点为，在第一象限内是否存在一个点，并且到的距离为定值，如存在，请直接写出这个定值；如不存在，请说明理由． 6．（2017•江东区模拟）如图，已知过动点，并与反比例函数的图象交于、两点（点在点的左边），以为直径作反比例函数的图象相交的半圆，圆心为，过点作轴的垂线，垂足为，并于半圆交于点． （1）当时，求、两点的坐标． （2）求证：无论取何值，线段的长始终为定值． （3）记点关于直线的对称点为，当四边形为菱形时，求的值． 7．如图，是轴负半轴上一动点，坐标为，其中，以为圆心，4为半径作，交轴于，，交轴正半轴于，连接，，过点作平行于的直线交轴于，交于． （1）当时，求的长； （2）当与相似时，求的值； （3）当在轴负半轴上运动时， ①试问的值是否发生变化？若变化，请说明理由；如不发生变化，求出这个比值； ②求的最大值． 8．（2023春•岳麓区校级月考）如图，为平行四边形的一条对角线，，的外接圆与边交于点（点不与点，重合），过点作于点，直线交的延长线于点，连接． （1）求证； （2）若的半径为5，，求的长； （3）若，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求这个定值． 9．（2022•浙江三模）如图，内接于，，点为劣弧上动点，延长，交于点，作交于，连结． （1）如图①，当点为的中点时，求证：； （2）如图②，若，，请用含有的代数式表示； （3）在（2）的条件下，若， ①求证：； ②求的值． 10．（2022•北仑区二模）【证明体验】 （1）如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，，．求证：； 【思考探究】 （2）如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值． 11．（2022•长安区校级模拟）在如图1所示的平面直角坐标系中，为原点，的圆心坐标为，半径为．直线与轴，轴分别交于点，，点在线段上运动（包括端点）． （1）直线与的夹角是 　　； （2）当是等腰三角形时，求点的坐标； （3）当直线与相切时，求的度数； （4）如图2，直线与相交于点，，为线段的中点，当点在线段上运动时，点也相应运动，请直接写出点所经过路径