2024年九年级中考数学压轴题专项练习—阿基米德折弦定理

中考数学压轴题专项练习 阿基米德折弦定理 1．（2022•成都自主招生）在中，顺次连接、、． （1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，，，则、、有何数量关系？ （3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为9，请求出的值？ 2．（2019秋•丰泽区校级期末）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． （1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 证明：如图2，在上截取， 连接，，和． 是的中点， ， ． （2）如图（3），已知等边内接于，，为上一点，，，垂足为，请你运用“折弦定理”求的周长． 3．（2016秋•建邺区期中）问题提出 如图①，、是的两条弦，，是的中点，垂足为，求证：． 小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下： 如图②，延长至，使，连接、、、、． （请你在下面的空白处完成小敏的证明过程． 推广运用 如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是　　． 拓展研究 如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由． 4．（2021•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题． 命题：如图1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接．求证：． 证明思路： 如图2，将绕点逆时针旋转至．，，与重合．，，点、、是一条直线． 根据，得证△，得． （1）特例应用 如图1，命题中，如果，，求正方形的边长． （2）类比变式 如图3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接．写出、、之间的关系式，并证明你的结论． （3）拓展深入 如图4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，． ①如图5，连接、，与交于点，求证：，； ②若点在（点不与点、、、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、、之间的等式关系． 5．（2012秋•厦门期末）已知、、、是上的四点，，是四边形的对角线 （1）如图1，连接，若，求证：是的平分线； （2）如图2，过点作，垂足为，若，，求线段的长度． 6．（2012•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图3，．组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明． 7．如图，已知、、、四点顺次在上，且，于， 求证：． 8．（2023•东港区校级一模）如图：已知点、、、顺次在圆上，，，垂足为．证明：．（阿基米德折弦定理） 9．（2023•海口一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即． 【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则　　； 【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则　　． 10．（2019•六合区模拟）我们知道，如图1，是的弦，点是的中点，过点作于点，易得点是的中点，即．上一点，则折线称为的一条“折弦”． （1）当点在弦的上方时（如图，过点作于点，求证：点是“折弦”的中点，即． （2）当点在弦的下方时（如图，其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么、、满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明． （3）如图4，已知中，，，的外接圆的半径为2，过上一点作于点，交于点，当时，求的长． 11．（2021秋•海州区校级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作，垂足为． 求证：． 【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，，，． 请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】