2024年九年级中考数学压轴题专项练习—切线长定理

中考数学压轴题专项练习 切线长定理 1．（2023•绵阳三模）如图，是的直径，，是的两条切线，点，为切点，延长，相交于点，若，，点为弧的中点，连接． （1）连接交于点，求证：； （2）设，求的值； （3）若点与点关于圆心对称，连接，求的长． 2．（2023•肇东市校级二模）如图，点在以为直径的上，过作的切线交延长线于点，于点，交于点，连接，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 3．（2023•东莞市校级二模）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点是上的一点，延长至点，连接、、，且，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：点是的中点； （3）在（2）的条件下，若点是上一点（不与、、重合），求的值． 4．（2023•利川市一模）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若与相交于点，连接，求证：； （3）若，求证：． 5．（2012•梁子湖区校级自主招生）等腰直角和如图放置，已知，，的半径为1，圆心与直线的距离为5．现以每秒2个单位的速度向右移动，同时的边长、又以每秒0.5个单位沿、方向增大． （1）当的边边除外）与圆第一次相切时，点移动了多少距离？ （2）若在移动的同时，也以每秒1个单位的速度向右移动，则从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？ （3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，与的公共部分等于的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由． 6．（2009•肇庆）如图，的直径，和是它的两条切线，切于，交于，交于．设，． （1）求证：； （2）求关于的关系式； （3）求四边形的面积，并证明：． 7．（2007秋•张家港市期末）如图，中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点； （1）求证：； （2）若以、、、为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积； （3）若，，求的半径的长． 8．（2007•河池）如图1，已知正方形的边长为，点是的中点，是线段上的一动点不与，重合），以为直径作，过点作的切线交于点，切点为． （1）除正方形的四边和中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）； （2）求四边形的周长； （3）延长，相交于点，如图2所示．是否存在点，使？如果存在，试求此时的长；如果不存在，请说明理由． 9．（2007•厦门）已知：如图，、是的切线；、是切点；连接、、， （1）若，求的度数； （2）过作、分别交、于、两点， ①若，求证：； ②连接，设的周长为，若，判断直线与的位置关系，并说明理由． 10．（2004•奉贤区二模）如图，已知在边长为1的正方形中，以为圆心、为半径画弧，是上的一动点，过作的切线交于点，切点为，连，过作的垂线交与，交的延长线于． （1）求证：，； （2）设，用含的代数式表示的长； （3）在图中，除以外，是否还存在与相等的线段，是哪些？试证明或说明理由； （4）当是等腰三角形时，求的长． 11．（2023•惠来县模拟）如图，是的直径，且，点为外一点，且，分别切于点、，点是两条线段与延长线的交点． （1）求证：； （2）若为等边三角形，求的长． 12．（2022春•余干县期中）如图，在中，以为直径的交于点，连接，且，连接并延长交的延长线于点，与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点，求证：； （3）若，求的值． 13．（2022•南充模拟）如图，是的切线，是的直径，与交于，弧上一点，使得点成为弧的中点，连接与交于． （1）比较与的长度．并说明理由． （2）当，时，求的长． 14．（2022•游仙区模拟）是等边三角形，过、两点作，与相切，是弦上一点，射线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求； （3）求当时，的值． 15．（2022秋•秦淮区校级月考）【数学概念】 我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形内接于，且每条边均与相切，切点分别为，，，，因此该四边形是双圆四边形． 【性质初探】 （1）双圆四边形的对角的数量关系是 　　，依据是 　　． （2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述） （3）在图①中，连接，，求证． 【揭示关系】 （4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示． 【特例研究】 （5）已知，分别是双圆四边形的内切圆和外接圆的圆心，若，，，则的长为　　． 16．（2022•新华区校级四模）如图1，在中，，，，点在边上，由点向点运动，当点与点重合时，停止运动．以点为圆心，为半径在的下方作半圆，半圆与交于点．，， 如图1，当时，　　，点到半圆的最短距离　　； （2）半