2024年九年级中考数学压轴题专项练习—垂径定理

中考数学压轴题专项练习 垂径定理 1．（2023•南岗区二模）圆内接，是圆的切线，点为切点，． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，，，求的长． 2．（2022•镇海区校级二模）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作垂直交于点，交于点，交于点，连结，若． （1）求证：． （2）如图1，若，求的面积． （3）如图2，若，求的长． 3．（2022秋•香坊区校级月考）在中，弦、相交于点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点、分别为弦、的中点，连接、，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，交于点，过点作交于点，，，求的长． 4．（2022•石家庄三模）如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段．（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点 特例探究：（1）如图1，当点在射线上时，　　，点到直线的距离是 　　； 变式研究：当点在上方时， （2）如图2，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比； （3）当圆与边相切时，求线段的长； （4）若点到的距离为3，直接写出点到的距离． 5．（2022春•南岗区校级月考）如图1，是的直径，点在上，是弧的中点，连接、 （1）求证：； （2）如图2，过点作于，交于点，连接交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，交于点，连接交于点，连接、，若，的面积是，求弦的长． 6．（2010•深圳）如图1所示，以点为圆心的圆与轴，轴分别交于点，，，，直线与相切于点，交轴于点，交轴于点． （1）请直接写出，的半径，的长； （2）如图2所示，弦交轴于点，且，求的值； （3）如图3所示，点为线段上一动点（不与，重合），连接交于点，弦交轴于点．是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 7．内接于，点在上，连接，交边于点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，连接，交弦于点，交边于点，连接，交边于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在边上时，连接，交边于点，点在线段上，连接并延长，交于点，连接、，若，，，求弦的长． 8．（2023•南岗区一模）已知内接于，是直径，过点作的切线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当是弧的中点时，过点作于．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接、与相交于点，若的面积为12，，求点到的距离． 9．（2023•永嘉县校级二模）如图，在矩形中，，点，，分别在边，，上，，，于点，为的外接圆的圆心，于点，设，． （1）求的长． （2）求关于的函数表达式． （3）在边上取点，使，连结． ①当为直角三角形时，求所有满足条件的的值． ②当点关于的对称点恰好落在边上时，连结，求的值． 10．（2023•道外区三模）已知四边形内接于，是的直径，在，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作，垂足为点，交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，，求的半径长． 11．（2023•鼓楼区校级一模）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，，求的半径； （2）若，，求的长． 12．（2023•晋安区校级模拟）已知如图1，在中，弦于点，，，．是的中点． （1）求的长． （2）求的长． （3）如图2，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由． 13．（2023•涪城区模拟）如图，已知：在中，，点是边上的动点，交于，以为直径的分别交，于点，． （1）求证：． （2）若，． ①当，求的长． ②当为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的腰长． （3）若，且，，在一条直线上，则与的比值为 　　． 14．（2023•鄞州区校级一模）如图，为的直径，弦于点，为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接、、、．为常数，且． （1）求证：； （2）求的值（用含的式子表示）； （3）设，． ①求与的数量关系； ②当，且时，求的值． 15．（2023•隆回县一模）如图，是的直径，是的弦，点是延长线的一点，平分交于点，过点作，垂足为点． （1）猜想直线与有怎样的位置关系？并证明你的猜想； （2）若，，求的半径和的长． 16．（2023•宁津县一模）【概念引入】 在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距． 【概念理解】 （1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 　　． （2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结