2024年九年级中考数学压轴题专项练习—A字模型

中考数学压轴题专项练习 A字模型 1．（2022秋•金山区校级期末）已知的余切值为2，，点是线段上一动点（点不与点、重合），以点为顶点的正方形的另两个顶点、都在射线上，且点在点的右侧，联结，并延长交射线于点． （1）联结，求证：； （2）如图1，当点在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长； （3）联结，当为等腰三角形时，求线段的长． 2．（2023春•乐清市月考）如图，在中，，，，点是边的中点，平行四边形的外接圆恰好经过点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求关于的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 3．（2023•丹徒区二模）如图1，在中，点在边上，点在边上，若满足，则称点是点的“和谐点”． （1）如图2，． ①求证：点是点的“和谐点”； ②在边上还存在某一点（不与点重合），使得点也是点的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹） （2）如图3，以点为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，已知点，，点在线段上，且点是点的“和谐点”． ①若，求出点的坐标； ②若满足条件的点恰有2个，直接写出长的取值范围是 　　． 4．（2022秋•南京期末）如图，在中，，点，分别在边，上，，以为直径的与相切于点，连接，，． （1）求证：①； ②． （2）若，，则的长为　　． 5．（2022•瓯海区校级二模）如图，在中，，以为邻边往右侧作矩形，过点作交的延长线于点．动点在线段上从点向终点匀速运动，同时动点从点出发沿着射线匀速运动，当点到达终点时，点也停止运动．连结，设，，的面积为，则，当达到最大时，点恰好运动到点． （1）求和的长． （2）求关于的表达式． （3）当时，连结、． ①当与的一条边平行时，求的值． ②将点绕着点顺时针旋转得到，当、、三点共线时，直接写出的值． 6．（2021秋•松江区期末）如图，已知中，，，，是边上一点（与点、不重合），平分，交边于点，，垂足为点． （1）当时，求的长； （2）当与相似时，求的正切值； （3）如果的面积是面积的2倍，求这时的长． 7．（2021秋•碑林区校级期末）如图，在中，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．若，，，已知点，同时出发，设运动时间为秒． （1）如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，当为何值时，； （2）如图②，点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； （3）当点到达点时，、两点都停止运动，当为何值时，． 8．（2021•永宁县模拟）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点，两点，设，分别为，上的动点，他们同时从，向点匀速运动，移动的速度都是．设，移动时间为秒，过点作，． （1）试说明不论取何值时，总有； （2）求的面积与的函数关系式；当为何值时，有最大值，并求出的最大值； （3）试问是否存在这样的时刻，使为直角三角形？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 9．（1）问题背景：如图1，中，，点在上，于，求证：； （2）尝试应用：如图2，在中，点在上，点在上，，，，，，求四边形的面积． （3）拓展创新：如图3，，，，，，直接写出的长． 10．（2022秋•香坊区期末）已知：四边形，连接，，，，． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）过点作于点，点为上一点（不与点重合），，的边交的延长线于点，另一边交的延长线于点，如图2，点与点重合时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点不与点重合，过点作，交于点，，，，点为上一点，连接、，交于点，，求的长． 11．（2023•临淄区二模）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是　　平方厘米． 12．（2021秋•端州区校级期末）如图，在矩形中，点，分别是，上的点，，，，，则的长度为　　． 13．（2023•泰山区校级三模）如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，且，． （1）求证：①；②； （2）若，，求线段的长． 14．（2023春•丹阳市校级期末）【问题背景】 中，是角平分线，点是边上的一动点． 【初步探索】 如图1，当点与点重合时，的平分线交于点． （1）若，，则　　； （2）若，则　　；（用含的代数式表示） 【变式拓展】 当点与点不重合时，连接，设，． （1）如图2，的平分线交于点． ①当，时，　　； ②用、的代数式表示　　； （2）如图3，的平分线与相交于点，与的平分线所在的直线相交于点（点与点不重合），直接写出点在不同位置时与之间的数量关系．（用含、