24.1圆的有关性质 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.1圆的有关性质 知识梳理 1.圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. （2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 3.两圆的性质 　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4.与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. （2）圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （3）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. （4）圆周角的性质： 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 基础训练 一、单选题 1．如图，点在以为直径的上，若，，则的长为（ ） A．8 B．6 C．5 D． 2．如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（ ） A．27° B．34° C．36° D．46° 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=40°，则∠A等于（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于(　　) A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° 6．如图，正三角形ABC内接于圆O，AD⊥BC于点D交圆于点E，动点P在优弧BAC上，且不与点B，点C重合，则∠BPE等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．如图，点在上，，，则等于（ ） A． B． C． D． 8．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ） A．52° B．57° C．66° D．78° 9．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则AD长为（　　） A．8 B．5 C． D． 10．下列说法中正确的个数有（ ） ①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④等弧所对的圆周角相等；⑤以、、为边的三角形，其内切圆的半径是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为_____度． 12．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为_____cm． 13．6cm长的弦将圆分成1:2的两条弧,则圆的直径为___________． 14．如图，为的直径，，为上的点，．若，则_______． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为_____． 三、解答题 16．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O于点 C，且 CD＝1， (1)求线段 OD 的长度； (2)求弦 AB 的长度． 17．证明：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 18．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，求⊙O半径的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1圆的有关性质 知识梳理 1.圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. （2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 3.两圆的性质 　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 　(2)相交两圆的