24.3正多边形和圆 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.3正多边形和圆 知识梳理 1.正多边形的概念 　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2.正多边形的重要元素 （1）正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　②正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　③正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　④正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． （3）正多边形的有关计算 ①正ｎ边形每一个内角的度数是； ②正ｎ边形每个中心角的度数是； ③正ｎ边形每个外角的度数是. 基础训练 一、单选题 1．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 2． 如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是AB，CD的中点，△AGF绕正六边形的中心经逆时针旋转后与△CHB重合，则旋转角度是（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 3．中心角为60°的正多边形的边数是（ ） A．3 B．6 C．8 D．12 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠B＝（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 5．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是 ． A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF 6．如果等边三角形的边长为，那么它的内切圆半径为（ ） A． B． C． D． 7．如图，圆中有四条弦，每一条弦都将圆分割成面积比为1：3的两个部分，若这些弦的交点恰是一个正方形的顶点，那么这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值为( ) A． B． C． D． 8．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为( ) A．40 B．50 C．.60 D．80 9．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有（　　） ①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长； ②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长； ③＝； ④∠BAC＝30°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若∠ABC＝30°，则∠ADC的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 二、填空题 11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是______________． 12．圆内接正十边形中心角的度数为_______度． 13．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是______． 14．已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为______． 15．在△ABC中，AB=10，CA=8，BC=6，∠BAC的平分线与∠BCA的平分线交于点I，且DI∥BC交AB于点D,则DI的长为____. 三、解答题 16．如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点（不与点、重合）． （1）当圆心在内部，∠ABO＋∠ADO=70°时，求∠BOD的度数； （2）当点A在优弧BD上运动，四边形为平行四边形时，探究与的数量关系． 17．如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点 求证：（1）； （2）为⊙O的切线． 18．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC； （2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3正多边形和圆 知识梳理 1.正多边形的概念 　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2.正多边形的重要元素 （1）正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　②正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　③