5.5.1 第一课时两角差的余弦公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1 两角和与差的正弦余弦、正切公式 第一课时 两角差的余弦公式 1 学习目标 1. 能通过任意角的三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出 两角差的余弦公式.(逻辑推理) 2. 理解两角差的余弦公式的结构形式,并能利用公式进行简单的化简、 求值.(数学运算) 思维导图 复习回顾 形如诱导公式一： 这种利用诱导公式对三角函数式进行的恒等变形过程就称为三角恒等变换. 利用诱导公式化简以下函数式： 复习回顾 利用诱导公式化简以下函数式： 观察本组练习的结构特征： 两角差的余弦; 从化简的结果发现： 都与任意角α（β）的正弦或余弦有关. 思考： cos(α－β)的展开公式可能与哪些值有关? 公式推导 我们在研究如何求三角函数值都用到了哪些知识？ 是否能用同样的方法来研究之间的关系呢？ 三角函数的定义、单位圆、圆的对称性 探究新知 以x轴非负半轴为始边,任取两角α、β,令α 两角终边分别交单位圆于A1，P1. 利用三角函数定义，作如图： 如图所示，任意两角且内与角终边相同的角大于内与角终边相同的角. ① 如图所示，任意两角，且内与角终边相同的角大于内与角终边相同的角. ② 如图所示，任意两角都在第一象限，且 内与角终边相同的角大于内与角终边相同的角. ③ 以第三种情况为例，去研究研究之间的关系 思考：如何找到与cos(α－β) 相关的点P？ 设角均为锐角，且. 如何发现cos(α－β)与sinα、cosα、sinβ、cosβ间存在的等量关系？ 由圆的性质得：弦AP与弦A1P1相等 即AP=A1P1 直角坐标系中任意两点 （两点间距离公式） C 知识梳理 利用两点间的距离公式表示线段AP与A1P1,去推导 两角差的余弦公式 当α 上式成立. 当角与角同终边时，公式仍然成立 知识梳理 公式 cos(α－β)＝___________________ 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β为任意角 cos αcos β＋sin αsin β 两角差的余弦公式 说明： 1.公式可简记为:同名相乘，符号相加. 2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合,公式右 端展开式为角α,β的同名三角函数积的和,即差角余弦等于同名积之和. 3.要注意公式的逆用和变形应用,如 cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α. 题型探究 一、给角求值问题 反思感悟 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利用两角差的余弦公式求解. 题型探究 二、给值求值问题 反思感悟 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察 已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行 拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β). 题型探究 三、给值求角问题 解　∵α，β均为锐角， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 延伸探究 反思感悟 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调 的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 小试牛刀 1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于 A.0 B.1 C.－1 D. 1.　原式＝cos(47°－137°)＝cos(－90°)＝0. 知识梳理 本 课 结 束 读书世界就在眼前 不读书眼前就是世界 30 例1. 求下列各式的值: (1)cos; (2)coscos+cossin; (3)cos 105°+sin 105°. 解 (1)cos=cosπ+=-cos =-cos=-cos =-coscos+sinsin =-=-. (2)原式=coscos+cossin =coscos+sinsin=cos =cos. (3)cos 105°+sin 105° =cos 60°cos 105°+sin 60°sin 105° =cos(60°-105°)=cos(-45°)=. 例2 (1)已知sin α=,α是第二象限角;c