3.7切线长定理 教案 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

*7　切线长定理 教学目标： 1.理解切线长的概念,体会切线与切线长的区别与联系. 2.掌握切线长定理的内容.会应用切线长定理进行相关的计算和证明. 3.通过分析问题、解决问题的过程,激发学生学习数学的兴趣,使学生积极参与、体验成功. 教学重难点： 重点:切线长定理的推导过程及运用. 难点:综合运用切线长定理进行有关的证明和计算. 教学过程： 导入 1.过☉O上任一点A可以作几条切线? 2.过圆外一点可以画几条切线? 3.这几条切线之间又有什么关系呢? 讲授新课 知识点1　切线长定理 如图所示,点P是☉O外一点,PA和PB是☉O的两条切线,A,B为切点,求证:PA=PB. [点拨] 已知PA和PB是☉O的两条切线,常用的辅助线是连接圆心与切点. 证明:如图所示,连接OA,OB,OP, 因为PA和PB是☉O的切线, 所以OA⊥PA,OB⊥PB. 在Rt△POA和Rt△POB中, 所以Rt△POA≌Rt△POB(HL). 所以PA=PB. [归纳] 过圆外一点可以画圆的两条切线,这一点和切点之间的线段长叫做圆的切线长. 切线长与切线的区别:切线长是切线上一点到切点的线段的长度,切线是一条直线. 切线长定理:过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长相等. 由上面的证明,你还能发现什么? (1)OP平分∠APB; (2)OP垂直平分AB(等腰三角形三线合一). 知识点2　圆外切四边形的性质 如图所示,四边形ABCD的边与☉O分别相切于点E,F,G,H,判断AB,BC,CD,DA之间有怎样的数量关系,并说明理由. [点拨] 四边形ABCD的边可以看作分别从A,B,C,D四点作的☉O的切线,切线长相等. 解:AD+BC=CD+AB, 理由:因为四边形ABCD的边与☉O分别相切于点E,F,G,H, 所以DH=DG,CG=CF,BE=BF,AE=AH. 所以AH+DH+CF+BF=DG+GC+AE+BE. 即AD+BC=CD+AB. 范例应用 例1　如图所示,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,☉O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在上,若PA=12,求△PEF的周长. 解:因为PA,PB分别与☉O相切于点A,B,☉O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在上, 所以AE=CE,FB=CF,PA=PB=12. 所以△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PE+AE+FB+PF=PA+PB=24. [方法归纳] 与切线长有关的周长问题,常运用“整体思想”. 例2　如图所示,四边形ABCD外切于☉O,切点分别是E,F,G,H. (1)圆的外切平行四边形是　　　　形;  (2)圆的外切矩形是　　　　　形;  (3)若AB∶BC∶CD∶DA=1∶3∶4∶x,且四边形ABCD的周长为20 cm,求AD的长度. 解:(1)菱 (2)正方 (3)因为AB∶BC∶CD∶DA=1∶3∶4∶x, 又因为AD+BC=AB+DC, 所以1+4=3+x. 则x=2. 因为四边形ABCD的周长为20 cm, 所以20÷(1+3+4+2)=2. 所以AD=2×2=4(cm). 课堂训练 1.如图所示,P为圆O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,若PA=5,则PB等于(D) A.2 B.3 C.4 D.5 第1题图 第2题图 2.如图所示,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为(A) A.44 B.42 C.46 D.47 3.如图所示,圆O是四边形ABCD的内切圆,连接AO,BO,CO,DO,记△AOD,△AOB,△COB,△DOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1,S2,S3,S4的数量关系为　S1+S3=S2+S4　.  第3题图 第4题图 4.如图所示,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为　14　.  5.如图所示,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.求: (1)∠BOC的度数; (2)BE+CG的长; (3)☉O的半径. 解:(1)如图所示,连接OF,OE,OG. 因为直线AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G. 所以BE=BF,CF=CG,OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD. 在Rt△OEB和Rt△OFB中, 所以Rt△OEB≌Rt△OFB(HL). 所以∠OBF=∠OBE. 同理可得∠OCF=∠OCG. 因为AB∥CD, 所以∠ABC+∠BCD=180°. 所以∠OBF+∠OCF=90°. 所以∠BOC=9