3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

第三章 圆 3.3 垂径定理 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 2 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 2.它的对称轴是什么? 是 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 1.圆是轴对称图形吗？ 复习回顾： ●O 3 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 探究一：垂径定理 合作探究：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. 问题1：该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ ●O A B C D M└ 是，对称轴是直径CD 4 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 问题2：你能从图中找出哪些等量关系？说一说你的理由. 解：连接OA,OB,则OA=OB. ●O A B C D └ 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, M ⌒ ⌒ AC和 BC重合， ⌒ AD和BD重合 ⌒ ⌒ ⌒ ∴AC= BC ⌒ ⌒ AD= BD 5 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 归纳总结： ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AM=BM， ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ●O A B C D M└ 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如. 6 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 练一练： 1.判断下列图形，能否使用垂径定理？ O C D B A × × √ B O C D A O C D E 注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦 7 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 探究二：垂径定理的推论 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 8 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 9 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 · O A B C D E （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 证明举例 AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 10 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 归纳总结： 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 11 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 垂径定理及推论 ●O A B C D M└ 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.即“知二推三” 12 合作探究 当堂检测 学习目标 课堂总结 自主学习 2.如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______________. C D C B O A D O A B