2024年江西省中考数学总复习：专题八 二次函数的综合探究题 课件

专题八　二次函数的综合探究题 与图形规律有关的探究问题 [例1]　【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点， 所描的点都在某二次函数图象上． 　知识详解 【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为____________________． (－3，4)或(3，4) 解析 【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． 解析 解析 【深度思考】 小明继续思考：设点P(0，m)，m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解析 解决此类问题，应遵循从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，也就是从简单问题入手，探究出与抛物线有关的特殊点、特殊关系或关联，找到对应的一般关系与规律，解决较为复杂的递推变化或一般情形． 方法总结 解析 (2)将二次函数L向左平移(3n－4)个单位得到二次函数L1. ①若二次函数L与二次函数L1关于y轴对称，求n的值； ②二次函数L1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式． 解析 解析 解析 解析 解析 解析 与几何变换有关的探究问题 [例2]　如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M1经过O，A(4，0)两点，其顶点B的纵坐标为2n，点C为OB的中点． (1)当∠ABC＝90°时，求抛物线M1的解析式． 解析 解析 解析 解析 解析 解决此类问题的方法就是先弄清变换前后抛物线上关键点的坐标发生了什么变化，抛物线的这些变换都是图形的全等变换，必然在每一对对称点之间，或与对称轴构造的图形之间存在着全等性，根据这一特性容易找到解题的突破口；继而根据图形的性质，建立相等的数量关系解决问题．　 方法总结 解析 解析 (2)如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？ 解析 解析 解析 与动点有关的探究问题 [例3]　【综合与探究】 如图，某一次函数与二次函数y＝x2＋mx＋n的图象交点为A(－1，0)，B(4，5). (1)求抛物线的解析式； 解析 (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为_________； (1，2) 解析 解析 (3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值； 解析 (4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 解析 解决此类问题需要准确把握运动变化过程中可能的位置，抓住其中的等量关系与变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或位置关系．　 方法总结 解析 (2)连接MB，MD，当△MDB的面积最大时，求点P的坐标． 解析 解析 解析 (3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解析 ②③ 解析 解析 (2)若y关于x的一次函数y＝ax－3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； 解析 解析 (3)若y关于x的二次函数y＝－(x－n)2－2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围． 解析 解答此类题目或问题的关键：首先是深刻地理解新定义的准确含义，以便更好地理解题意；其次是挖掘新的定义之下那些隐藏的数量关系或几何图形的特性，寻求解决问题的特殊技巧或者通法通则．此类新定义数学问题，还可能是开放性问题，有时答案还不唯一，在解答过程中时刻回望，与原定义的语句、条件、性质进行检验对比，剔除不适合的数据或答案，以确保最后结果的准确性．思维路径为“阅读——理解——建模——应用”．　 方法总结 解析 ①②③ 解析 解析 解析 解析 解析 解析 解析 1．如图，已知二次函数L1：y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝－m(x－3)2＋4m－1(m≥1)图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A，B两点(点A在点B的左边)和C，D两点(点C在点D的左边). 课堂提升 (1)函数y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥