专题六 圆的综合题 题型讲练 课件 2024年江西省中考数学总复习

专题六　圆的综合题 与圆的性质有关的证明与计算 [例1]　(2023·南昌一模)如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，G是弧AC上任意一点(且不与A，C重合)，连接AD，GD. 　知识详解 (1)图中哪个角和∠ADC相等？请给出证明． 解析 (2)若EB＝2 cm，CD＝8 cm，求⊙O的半径． 解析 (3)在(2)的条件下，当G运动到与O，D三点共线时，求此时AG的长． 解析 解析 解答与圆有关的证明及计算题的技巧 1．圆中常用的辅助线有如下几条： (1)半径：半径是圆的重要元素，圆中的许多性质，如“同圆的半径相等”“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连接半径是常用的添加辅助线的方法之一，常用于与切线相关的证明及计算． 方法总结 (2)弦心距：在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以便利用垂径定理或锐角三角函数求解． (3)构造直角三角形：在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，构造直角三角形求解． (4)构造相等的圆周角或圆心角需要的辅助线． 方法总结 2．计算或证明圆内有关角时，可正确应用如下方法： (1)应用圆周角定理及其推论，把不同位置的角的数量关系建立起来． (2)应用圆心角、弦、弧之间的关系定理，把弧、弦的相等关系转化到角的相等关系上来． (3)应用切线的性质定理，已知切线，作出过切点的半径，构造直角三角形求解．　 方法总结 [跟踪训练] 1．综合与实践 问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi)范、芯组成的铸型(如图1)，它的端面是圆形．如图2是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心． 问题解决：(1)请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法) 解析 类比迁移：(2)小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O.如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法) 解析 拓展探究：(3)小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹，不写作法)请写出你确定圆心的理由：__________________________． 垂直平分弦的直线经过圆心 解析 与切线有关的证明与计算 [例2]　如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N. (1)AB与⊙O的位置关系为 ； 相切 (1)[解]　∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径， ∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径， ∴AB为⊙O的切线， ∴AB与⊙O的位置关系为相切， 故答案为相切． 解析 (2)求证：AC是⊙O的切线； 解析 解析 (3)如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45) 解析 解析 解析 证明切线常用的两种方法 1．“有公共点，连半径，证垂直”．如果已知圆与直线有公共点，只要证明圆心与公共点的连线与已知直线垂直即可． 2．“无公共点，作垂线，证半径”．如果已知条件中没有给出直线与圆存在公共点，应过圆心向这条直线作垂线，然后证明垂线段的长度等于半径即可．　 方法总结 [跟踪训练] 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°. (1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由； 解析 解析 解析 解析 课堂提升 解析 解析 (2)求矩形ABCD的周长； 解析 解析 解析 (3)求阴影部分的面积． 解析 解析 解析 (2)求证：∠DBF＝2∠ABD. 解析 解析 解：问题解决： (1)如图： O即为圆心． (2)[证明]　过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图． ∵AB＝AC，O为底边BC的中点， ∴AO为∠BAC的平分线． ∵OD⊥AB，OE⊥AC， $