3.6直线和圆的位置关系第2课时　切线的判定与三角形的内切圆 教案 2023-2024学年 北师大数学九年级下册

6　直线和圆的位置关系 第2课时　切线的判定与三角形的内切圆 教学目标： 1.能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线. 2.会作三角形的内切圆. 3.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 教学重难点： 重点: 1.探索圆的切线的判定方法,并能运用. 2.作三角形内切圆的方法. 难点:探索圆的切线的判定方法. 教学过程： 导入 1.直线与圆的位置关系有哪些?你有哪些判断方法? 解:相交、相切、相离;利用d与r的关系判断. 2.切线的性质是什么? 解:圆的切线垂直于过切点的半径. 3.如图所示,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为　3　.  新课导入 知识点1　切线的判定 如图所示,AB是☉O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A旋转. (1)随着∠α的变化,点O到l的距离d如何变化? (2)直线l与☉O的位置关系如何变化? (3)当∠α等于多少度时,点O到l的距离d等于半径r? (4)在满足(3)的条件下,直线l与☉O有怎样的位置关系?为什么? 解:(1)∠α越小,距离d越小. (2)直线l与☉O有时相切,有时相交. (3)当∠α等于90°时,点O到l的距离d等于半径r. (4)直线l与☉O相切.d=r. [总结]圆的切线的判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识点2　三角形的内切圆 如图所示,已知△ABC,作☉O使它与△ABC的三边都相切. 作法: (1)分别作∠B,∠C的平分线BE,CF,交于点O; (2)过点O作OD⊥BC,垂足为D; (3)以O为圆心,OD的长为半径作☉O,☉O就是要求作的圆. 和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心,是三角形三条角平分线的交点. 一个三角形有唯一一个内切圆. 范例应用 例1　如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点P,PD⊥AC于点D. (1)求证:PD是☉O的切线; (2)若∠CAB=120°,AB=6,求BC的值. (1)证明:如图所示,连接OP. 因为AB=AC, 所以∠B=∠C. 因为OP=OB, 所以∠B=∠OPB. 所以∠OPB=∠C. 所以OP∥AC. 因为PD⊥AC, 所以OP⊥PD. 所以PD是☉O的切线. (2)解:连接AP,如图所示, 因为AB为直径, 所以∠APB=90°. 因为易知BP=CP. 且∠CAB=120°, 所以∠BAP=60°. 在Rt△BAP中,AB=6,∠B=30°, 所以AP=AB=3. 所以BP=AP=3. 所以BC=2BP=6. [方法归纳] 证明切线的方法 (1)若已知直线与圆的公共点,则连接圆心与公共点,证明垂直; (2)若圆与直线公共点未知,则过圆心作直线的垂线段,证明d=r. 例2　如图所示,点O是△ABC的内心,AO的延长线交△ABC的外接圆于D.求证:OD=CD. 证明:如图所示,连接OC, 因为点O是△ABC的内心, 所以∠CAD=∠BAD,∠OCA=∠OCB. 因为∠BAD=∠BCD, 所以∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BCD+∠OCB=∠DCO. 所以OD=CD. [方法归纳] 三角形的内心与顶点的连线是这个三角形内角的平分线. 课堂训练 1.如图所示,☉O是△ABC的内切圆,∠A=50°,则∠BOC的大小为(B) A.105° B.115° C.125° D.100° 第1题图 第3题图 2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则△ABC的内切圆的半径长为　　.  3.如图所示,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB=　60°　时,AC与☉O相切.  4.如图所示,△ABC是☉O的内接三角形,AC是☉O的直径,点D是的中点,DE∥BC交AC的延长线于点E. (1)求证:直线DE与☉O相切; (2)若☉O的直径是10,∠A=45°,求CE的长. (1)证明:连接OD,如图所示, 因为点D是的中点, 所以OD⊥BC. 又因为DE∥BC, 所以OD⊥DE. 所以直线DE与☉O相切. (2)解:因为AC是☉O的直径, 所以∠B=90°. 又因为∠A=45°, 所以∠ACB=45°. 因为BC∥DE, 所以∠E=45°. 又∠ODE=90°, 所以△ODE为等腰直角三角形. 所以OE=OD=5. 所以CE=OE-OC=5-5. 小结 1.切线的判定定理 2.三角形的内切圆及内心 板书 第2课时　切线的判定与三角形的内切圆 1.切线的判定定理及应用 2.三角形的内切圆作法及内心 反思