培优课 与球有关的切接问题课件-2024届高三上学期数学一轮总复习

培优课 与球有关的切接问题 1.球心的相关性质 (1)球心到球面上各点的距离相等; (2)球的截面是圆面, (3)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面, (4)过截面圆圆心作截面的垂线必经过球心. 同样也适用于三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:补成正方体、补成长方体 正方体盒子里吹气球,会得到与6个面相切的内切球。 二、球外接于正方体,此时2R=a. 正方体放进气球里,气球放气,可得与8个顶点相接的外接球 正方体棱切球有多种描述,如下: ①球心到正方体所有棱边的距离等于球半径R。 ②球心到正方体所有面的距离等于R。 ③球心到正方体所有顶点的距离等于R。 三、球与正方体的十二条棱相切(棱切球),此时2R=a 12条木棍组成一个正方体框架,在里面吹气球,慢慢地气球就与木棍轻轻接触相切。 正方体的棱切球球心为体对角线的中点, 半径为球心到各棱的距离,此时2R=a (将正方体想象成一个无面的框架,则球与各棱相切)。 棱长为a的正四面体棱切球半径是 因为正方体共有六个面,且每个面都是一个正方形,所以,这个正四面体中的棱切球和这个正四面体共有六个切点,而且每个切点都在正四面体的外接正方体面对角线的交点上,则这个内切球的直径就等于这个正方体的棱长,所以,内切球的半径就等于正方体棱长的一半。 推导过程 设正四面体的棱长为a,则正方体的棱长为a,而棱切球的球心必是正方体的中心,球的直径就是正方体的棱长,可得:R=。 一.棱柱的外接球: 1、正方体的外接球: 球和正方体都是中心对称和轴对称图形,设球的半径为R,正方体的棱长为a,则: ①球心就是正方体的中心,球心在正方体的体对角线的中点处。 ②正方体的八个顶点都在球面上。 ③轴截面就是正方体的对角面。 ④在轴截面上,含有一个球的大圆和正方体的棱、面对角线、体对角线,且构造个直角三角形 ⑤球半径和正方体棱长的关系:R= 2.直棱柱外接球: 规律: (1)直棱柱外接球的球心位于上下底面多边形外接圆圆心连线的中点上。 (2)若直棱柱(或有一条棱垂直于底面的棱锥)的高为h,底面外接圆半径为r,则该直棱柱外接球半径R满足:R2=()2+r2. 题型一:若有三棱锥三边两两垂直的,则用补法构造一个长方体,该长体的体对线为该几何体的外接球直径2R= 二、棱锥的外接球: 1.正四面体的外接球与内切球: 当正三棱锥的侧棱与底边相等时,构成正四面体。 正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 正四面体的棱长为a,正四面体的高为h,四面体的外接球半径为R,正四面体的内切球半径为r,则 R+r=h,R=3r,R=h=,r=h= 球心位置:若底面为正多边形,则过正多边形的中心作底面的垂线,则垂线上任一点到正多边形各顶点的距离都相等,则外接球的球心位于这条垂线上,可利用勾股定理求出外接球半径。 题设:P的投影落在ABC的外心上 第一步、确定球心O的位置,取ABC的外心H,则P,0,H三点共线; 第二步、算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h; 第三步、勾股定理:+= 正四面体内切球的半径为球心到正四面体各面的距离。 正四面体的内切球半径等于其外接正方体对角线的六分之一 正四面体和正方体有着相同的外接球。 正棱锥(圆锥)外接球半径模型 特征:侧棱相等,底面为正多边形 球心位置:位于顶点与底面外心连线线段(或延长线)上 + R:为外接球半径 r:为底面外接圆半径 h:为棱锥的高 侧棱与底面垂直锥体(直棱柱,圆柱)外接球半径模型 特征:侧棱与底面垂直 椎体球心位置:底面外心正上方,侧棱中垂面交汇处(高的一半处) 直棱柱(圆柱)球心位置:上下底面外心连线中点处 + R:为外接球半径 r:为底面外接圆半径,由正弦定理得 h:为棱锥的高 能解决的棱锥外接球类型:1根侧棱底面的棱锥 正三棱柱的外接球 + h为三棱锥的高, a为底边长 圆柱外接球模型 + 侧面与底面垂直的锥体外接球半径模型 ①面ABD与面CBD互相垂直 为上面两个面的外接圆半径 ③l为两个面的交线,也即BD 2.普通棱锥的外接球: 对于普通棱锥来说,底面不是正多边形,也没有底面正多边形的中心的概念,但底面多边形依然有外接圆圆心(外心),底面多边形的外心到底面各顶点的距离都相等,故过底面多边形的外心作底面的垂线即可。 球心位置推广:过底面多边形的外心作底面的垂线,则垂线上任一点到多边形各顶点的距离都相等,则外接球的球心位于这条垂线上,可利用勾股定理求出外接球半径。 两个类型: 一般地,设棱锥的高为H,底面外接圆圆心为,底面外接圆半径为r,接球球心为,外接球半径为R,=h,到棱锥高线的距离为a,则构造两个勾股定理为: =+ =+ 关键是求出三个量:H,r,a、即求出棱锥的高H、底面外接圆半径r、棱锥底的外心到棱锥高线的距离a。=h是设出的量,不用单独求。r可用正弦定理求出